営業 係数 は 国鉄 時代 の 706 （ 1983 年度 ） ・ 560 （ 1984 年度 10 月 末 まで ） から 、 121 （ 1984 年度 11 月 以降 ） ・ 110 （ 1985 年度 ） ・ 120 （ 1986 年度 ） ・ 120 （ 1987 年度 ） と 改善 さ れ た 。

左辺 の 多項式 の 係数 体 を K と する と 、 その 代数 方程式 は 、 一般 に は K の 中 で 解け ない が 、 代数 方程式 が 1 つ 与え られ た とき 、 その 根 を 含む よう な K の 拡大 体 L の 存在 が 示せる 。

K ∧ の 元 x が 、 ある K 係数 の 代数 方程式 の 根 と なる とき 、 x は K 上代 数 的 で ある という （ 詳しく は 体 論 に 譲る ） 。

環 R を 係数 の 環 と する モニック （ 最高 次 の 係数 が 1 ） な 多項式 の 根 は R 上 で 整 で ある と いう 。

よく 誤解 さ れ て いる こと で ある が 、 一般 に 言わ れる 「 五 次 方程式 は 一般 に は 解け ない 」 という の は 、 代数 的 解法 による 解 の 公式 が 存在 し ない こと を 指し て おり 、 全て の 代数 的 数 が 、 考え て いる 代数 方程式 の 係数 から 、 四則 演算 と 冪 乗 根 を 取る 操作 を 有限 回 繰り返す だけ で 得 られる わけ で は ない という こと で ある 。

線型 代数 学 の 整備 により 、 多く の 場合 に 線型 方程式 の 係数 を 実数 や 複素数 に 限ら ず 、 四則 演算 が 自由 に できる （ つまり 体 と 呼ば れる 代数 的 構造 を もつ ） 集合 から とっ た として 広く 適用 できる 結果 が 知ら れ て いる 。

以下 、 特に 断ら ない 場合 は 係数 を とる 集合 K を （ 可 換 な ） 体 と する 。

すなわち 、 写像 f : C → C で 、 任意 の ζ ∈ C において 微分 係数 f ' ( ζ ) が 存在 する （ 微分 可能 で ある ） もの の こと 。

数学 において 、 群 環 （ ぐんかん 、 group ring ） あるいは 群 多元 環 （ ぐんたげんかん 、 group algebra ） と は 、 与え られ た 群 の 元 を 生成 元 と し 、 適当 な 環 を 係数 に もつ 自由 加 群 の こと で ある 。

F 2 係数 一 変数 多項式 環 F 2 [ x ] を 考える 。

さらに 、 n 3 や 2 n といった 他 の オーダー の 式 と 比較 する 分 に は 係数 も 無関係 に なる 。

なぜ なら ば 、 log ( nc ) = c log & thinsp ; n より 2 つ の 指数 関数 は 定数 係数 のみ が 異なり 、 これ は big O - 記法 で は 無視 さ れる から で ある 。

パスカル の 三角形 （ パスカル の さん か くけ い 、 英語 ： Pascal ' s triangle ） は 、 二 項 展開 における 係数 を 三角形 状 に 並べ た もの で ある 。

この よう に し て 数 を 並べる と 、 上 から n 段 目 、 左 から k 番目 の 数 は 、 二 項 係数 に 等しい （ n - 1 Ck - 1 と 表す こと も ある ） 。

例えば の それぞれ の 係数 は 三角形 の 3 段 目 の 数 1 2 1 と 一致 する 。

二 項 係数 は 組合せ の 数 で も ある ので 、 組合せ 数学 において も パスカル の 三角形 は 有用 で ある 。

ハイヤーム は 、 二 項 定理 を 含む いくつ か の 定理 が この 三角形 に 含ま れる こと を 知っ て おり 、 n 次 の 二 項 展開 の 係数 を 求める 方法 を 知っ て い た と 考え られる 。

どの よう な 総和 法 が 可能 か という こと に関して 知ら れる 一般 的 な 結果 の 一種 で 、 シルバー マン - テープリッツ の 定理 は （ 係数 全体 の 成す ベクトル に 無限 次 行列 を 作用 さ せる こと によって 発散 級数 を 総和 する ） 行列 総和 法 ( matrix summability methods ) を 特徴付ける もの で ある 。

この セクション で は R を ある 可 換環 と し 、 R に 係数 を 持つ 冪 級数 を 扱う 。

これ を R を 係数 環 と する 1 変数 の 形式 冪 級数 環 と 呼ぶ 。