ここ で 、 a から f まで は この 二 次 形式 の 係数 で ある 。

二 次 形式 論 および その 研究 手法 は （ 実数 、 複素数 、 有理数 、 整数 など といった ） 二 次 形式 の 係数 の もつ 性質 に 大きく 依存 する 。

線型 代数 学 や 解析 幾何 学 および 二 次 形式 の 応用 の 大 部分 で は 係数 は 実 または 複素数 で ある 。

二 次 形式 の 代数 的 理論 において は その 係数 は なんらかの 体 で あり 、 二 次 形式 の 算術 理論 において は 係数 は ある 種 の 可 換環 で ある （ 有理 整数 環 Z や p - 進 整数 環 Zp が よく 用い られる ） 。

n - 変数 の 整 係数 二 次 形式 は 代数 的 位相 幾何 学 に 重要 な 応用 を 持つ 。

特定 の 二 次 形式 の 研究 （ 特に 、 与え られ た 整数 が 整 係数 二 次 形式 の 値 として 得 られる か といった よう な 問題 ） は 何 世紀 も 遡れる もの で ある 。

1801 年 に ガウス の 著し た 『 算術 研究 』 で は 、 整 係数 二 元 二 次 形式 について の 完全 な 理論 の 解説 に かなり の 紙面 が 割か れ て い た 。

この 場合 、 係数 λ 1 , λ 2 , & hellip ;, λ n は 実は 番号 の 並び 替え の 違い を 除い て 一意 に 決まる 。

変数 変換 が （ 必ずしも 直交 で ない ） 正則 行列 によって 与え られる なら ば 係数 λ i を 0 , 1 , − 1 の 何れ か に する こと が できる 。

有理 整数 環 Z 上 の 二 次 形式 は 整 係数 二 次 形式 あるいは 整 二 次 形式 ( integral quadratic forms ) と 呼ば れ 、 対応 する 加 群 は 二 次 格子 （ あるいは 単に 格子 と も いう ） で ある 。

整 係数 二 次 形式 は 数 論 および 位相 空間 論 において 重要 で ある 。

二 次 形式 が （ x 2 + xy + y 2 の よう に ） 整数 係数 を もつ 、 あるいは 同じ こと だ が 、 （ Q や R といった ） 標 数 0 の 体 上 の ベクトル 空間 V における 格子 Λ が 与え られ た とき 、 二 次 形式 Q が Λ に関して 整 で ある ため の 必要 十 分 条件 は 、 それ が Λ 上 整数 値 を とる （ つまり 、 x , y ∈ Λ なら ば Q ( x , y ) ∈ Z と なる ） こと で ある 。

歴史 的 な 事情 で 、 整 係数 二 次 形式 の 概念 について 、 互いに 異なる 複数 の 流儀 が 存在 する 。

2 無し の 流儀 は いまや 慣習 として 認め られ て おり 、 また 2 付き の 流儀 は むしろ 、 整 係数 対称 双 線型 形式 （ あるいは 整 係数 対称 行列 ） について の 理論 で ある と 考え られ て いる 。

ラマヌジャン は これ を 一般 化 し て 、 aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2 の 形 の 二 次 形式 が 普遍 と なる よう な 係数 の 組 { a , b , c , d } を 54 個 見つけ て いる 。

ただ 一つ の 例外 を 除く 全て の 正 の 整数 を 表す 二 次 形式 も 存在 する （ たとえば 係数 { 1 , 2 , 5 , 5 } に 対応 する 二 次 形式 は 15 以外 の 全て の 正 の 整数 を 表す ） 。

これ は 「 全て の 係数 が 整数 の 二 次 形式 が 普遍 で ある ため の 必要 十 分 条件 は 290 以下 の 全て の 整数 を 表す こと で ある 」 および 「 整 行列 を もつ 二 次 形式 が 普遍 で ある ため の 必要 十 分 条件 は 15 以下 の 全て の 整数 を 表す こと で ある 」 という 内容 で ある 。

この 冷凍 能力 は 、 冷凍 機 自体 の エネルギー 消費 率 と は 必ずしも 一致 せ ず 、 同じ 単位 で ある 両者 の 比 を 取っ て 成績 係数 （ COP ） という 形 で 、 省エネルギー の 指標 として 用い られる 。

これら で 得 た 肺 動脈 楔 入 圧 （ mmHg ） と 心 係数 （ CI 、 心拍 出 量 / 体 表面積 、 L / 分 / m 2 ） で 分類 し た もの が Forrester の 分類 で ある 。

心 係数 2 . 2 以下 を 末端 循環 不全 、 肺 動脈 楔 入 圧 18 以上 を 肺 うっ血 状態 と し 、 それぞれ の 区分 から 重症 度 を 判定 し 投与 する 医薬品 の 種類 や 治療 法 を 定め て いる 。