鎖 複 体 { math | X {{=} {(} Xn {)}}} に対し 、 複素数 { math | C } 係数 の 双対 鎖 複 体 { math | A {{=} Hom ( X , C ) {=} {(} An {=} Hom ( Xn , C ){)}}} を 考える 。

実際 に 平衡 条件 を 満たす か 調べる に は 、 手がかり として 各 ノード に 平衡 係数 を 持た せ て おく 。

平衡 係数 が 2 以上 または - 2 以下 の ノード が 存在 する 時 、 木 の 再 構成 が 必要 で ある 。

木 の 再 構成 後 は 平衡 係数 の 更新 も 行わ なけれ ば なら ない 。

回転 は 、 平衡 係数 が 2 以上 または - 2 以下 の ノード の うち 最も 根から 遠い ノード 、 すなわち 最も 葉 に 近い ノード から 行う 。

木 を 回転 する 度 に 平衡 係数 の 更新 も 行う 。

AVL 木 の 挿入 における 平衡 条件 の 確認 は 、 探索 し て き た 経路 上 の 全て の ノード が 平衡 条件 を 満たし て いる こと を 確認 する 必要 は 必ずしも なく 、 探索 し て き た 経路 上 の どこ か の ノード を 回転 する か 、 探索 し て き た 経路 上 に 平衡 係数 が 0 の ノード を 見つけ た 時点 で 処理 を 終了 できる 。

また 、 挿入 により 平衡 係数 が 0 に なっ た ノード が ある という こと は 挿入 前 に 高 さ が 1 小さかっ た 方 の 部分 木 に 挿入 し た という こと で ある から 、 その ノード を 根 と する 部分 木 の 高 さ は 挿入 前後 で 変わっ て い ない ので 、 全て の ノード が 平衡 条件 を 満たし て いる こと が わかる 。

ただし 、 探索 し て き た 経路 上 に 平衡 係数 が 1 もしくは - 1 の ノード を 見つけ て も 処理 を 終了 でき ない 。

なぜなら 、 挿入 により 平衡 係数 が 1 もしくは - 1 に なっ た ノード が ある という こと は 、 挿入 前 の その ノード の 左右 部分 木 の 高 さ は 等しかっ た が 、 挿入 により 一方 の 部分 木 の 高 さ が 1 大きく なっ た という こと で あり 、 その ノード を 根 と する 部分 木 の 高 さ は 1 大きく なっ て いる ので 、 全て の ノード が 平衡 条件 を 満たし て いる こと を 保証 でき ない から で ある 。

木 を 回転 する 度 に 平衡 係数 の 更新 も 行う 。

AVL 木 の 削除 における 平衡 条件 の 確認 は 、 探索 し て き た 経路 上 の 全て の ノード が 平衡 条件 を 満たし て いる こと を 確認 する 必要 は 必ずしも なく 、 探索 し て き た 経路 上 に 平衡 係数 が 1 もしくは - 1 の ノード を 見つけ た 時点 で 処理 を 終了 できる 。

なぜなら 、 削除 により 平衡 係数 が 1 もしくは - 1 に なっ た ノード が ある という こと は 、 削除 前 の その ノード の 左右 部分 木 の 高 さ は 等しかっ た が 、 削除 により 一方 の 部分 木 の 高 さ が 1 小さく なっ た という こと で あり 、 その ノード を 根 と する 部分 木 の 高 さ は 削除 前後 で 変わっ て い ない ので 、 全て の ノード が 平衡 条件 を 満たし て いる こと が わかる から で ある 。

ただし 、 探索 し て き た 経路 上 の どこ か の ノード を 回転 し たり 、 平衡 係数 が 0 の ノード を 見つけ て も 処理 を 終了 でき ない 。

また 、 削除 により 平衡 係数 が 0 に なっ た ノード が ある という こと は 削除 前 に 高 さ が 1 大きかっ た 方 の 部分 木 から 削除 し た という こと で ある から 、 その ノード を 根 と する 部分 木 の 高 さ は 1 小さく なる ので 、 同様 の 可能 性 が ある 。

鉄道 車両 として は 、 車体 と 台車 枠 の 間 に 可変 減衰 ダンパー （ セミアクティブダンパー ） が 設置 さ れ て おり 、 左右 加速度 センサー により 振動 を 検知 し て それ を 元 に 制御 装置 が 減衰 力 指令 値 を 計算 し て 、 その 指令 値 により ダンパー の 減衰 力 （ 減衰 係数 ） を 変化 さ せる こと により 、 車体 の 左右 の 振動 を 最適 に 抑制 する 。

ここ で c は 光速 で 次元 を 揃える 為 の 換算 係数 で ある 。

閑散 区間 で あっ た 村松 - 加茂 間 を 廃止 し た こと で 、 一時 的 に 輸送 密度 ・ 営業 係数 とも 改善 し た 蒲原鉄道線 で あっ た が 、 利用 客 の 自家用車 ならびに ミニ バイク へ の シフト は 止まら ず 、 年間 輸送 人員 は 1990 年 （ 平成 元年 ） 度 ・ 1991 年 （ 平成 2 年 ） 度 の 2 年間 のみ わずか に 微増 傾向 を 示し た ものの 、 以降 年々 減少 の 一途 を 辿っ た 。

ただし 、 オーラ 係数 は 0 . 99 と 低く （ ビランビー 以降 の 機種 で は 最低 値 ） 、 その 性能 を フル に 発揮 する に は 操縦 者 が 強力 な オーラ 力 の 持ち主 で ある こと が 要求 さ れる ため 、 事実 上 の 「 聖戦 士 専用 機 」 で あっ た 。

化学 式 で の 単位 は モル で 記述 できる よう に 係数 x を 使用 する 。