その 比例 係数 を 弾性 率 または ヤング 率 と 呼ぶ 。

体 { mvar | F } は 係数 体 ({ en | coefficient field , scalar field } ) と 呼ば れる 。

係数 体 { mvar | F } の 元 は スカラー ({ en | scalar } ) あるいは 係数 ({ en | coefficient } ) と 呼ば れる 。

実際 、 二 番目 の 例 で 二つ の 順序 対 の 和 は 、 和 を とる 順番 に 依ら ず ベクトル 空間 は 、 係数 体 { mvar | F } が 実数 体 { math | R } の とき 実 ベクトル 空間 ({ en | real vector space } )、 複素数 体 { math | C } の とき 複素 ベクトル 空間 ({ en | complex vector space } ) と 呼ば れ 、 これら 二つ の 場合 が 工学 において もっとも よく 用い られる 。

ここ で { mvar | A } は 与え られ た 方程式 の 係数 を 含む 行列 、 { math | x } は ベクトル { math |{{ nowrap |( a , b , c )}}} で あり 、 { math | Ax } は 行列 の 積 を 、 { math | 0 {{=} ( 0 , 0 )}} は 零 ベクトル を それぞれ 意味 する 。

現れる 係数 に対して 適当 な 正則 性 条件 を 課す もの として 、 斉 次 常 微分 方程式 の 解 空間 の 次元 は その 方程式 の 階数 に 等しい 。

{ mvar | α } が 有理数 係数 の 代数 方程式 二つ の ベクトル 空間 の 間 の 関係 性 は 線型 写像 あるいは 線型 変換 によって 表す こと が できる 。

{ mvar | V } から 係数 体 { mvar | F } へ の 線型 写像 全体 の 成す 空間 は 、 { mvar | V } の 双対 空間 { math | V {{ sup |∗}}} と 呼ば れる 。

物理 学 の 言葉 で 言え ば 、 函数 は 正弦 波 の 重ね 合せ として 表さ れ 、 その 係数 は 函数 の 周波数 スペクトル について の 情報 を 与える という こと に なる 。

また 、 係数 全体 の 成す 集合 は 、 与え られ た 標本 列 の 離散 フーリエ 変換 ({ en | DFT : Discrete Fourier Transformation }) と 呼ば れる 。

これ は フーリエ 係数 の 計算 だけ で なく 、 畳み込み 定理 を 用い て 、 二つ の 有限 列 の 畳み込み を 計算 する の に も 利用 できる 。

に も 拘わら す ベクトル 空間 は 、 係数 環 が 体 で ある よう な 加 群 として 簡単 に 定義 する こと が でき て 、 その 元 を ベクトル と 呼ぶ 。

普遍 代数 学 の 言葉 で 言え ば 、 ベクトル 空間 は ベクトル の 有限 和 に 対応 する 係数 の 有限 列 全体 の 成す 普遍 ベクトル 空間 { math | K ∞} 上 の 代数 で ある が 、 一方 アフィン 空間 は ここ で いう （ 和 が { math | 1 } の 有限 列 全体 の 成す ） 普遍 アフィン 超 平面 上 の 代数 で あり 、 また 錐 体 は 普遍 象限 上 の 代数 、 凸 集合 は 普遍 単体 上 の 代数 で ある 。

A が 単位 的 可 換環 で f ( X ) が A に 係数 を 持つ 一変 数 多項式 で ある と する 。

A を 係数 と する 一変 数 多項式 環 A [ X ] の 、 f ( X ) によって 生成 さ れる 単項 イデアル ( f ) による 商 を R と する と 、 R から A へ の 環 準 同型 を 考える という こと は A における f の 根 を 考える こと と 同値 に なる 。

バーン サイド 環 は 表現 環 の 指数 有限 な 部分 環 を 含む から 、 係数 を 整数 全体 から 有理数 全体 に 拡張 する こと により 、 容易 に 一方 から 他方 へ 移る こと が できる 。

一 次 方程式 系 が 与え られる とき 、 方程式 の 係数 行列 に対して その 行列 式 の 値 を 調べる こと により 、 方程式 系 の 根 の 状態 を ある程度 知る こと が できる 。

楊輝 ( 中国 、 1238 年 ?～ 1298 年 ) は 『 詳解 九 章 算術 』 で 数字 係数 の 二元 連立 一 次 方程式 の 解 を クラメル の 公式 の 形 で 、 行列 式 的 な もの を 含ん だ 形 で 与え て いる 。

ライプニッツ は 数多く の 線型 方程式 系 を 研究 し て い た が 、 その 頃 は 行列 記法 が まだ なかっ た ので 、 彼 は 未知数 の 係数 を 、 現在 の よう な ai , j の かわり に ij の よう に 添字 の 対 によって 表現 し て い た 。

（ 係数 (− 1 ) i + j を 含ま ない 形 で 定義 する 場合 も ある 。