この 定理 は 数学 者 マックス・ツォルン と カジミェシュ・クラトフスキ に 因む 。

ZF 集合 論 において 、 ツォルン の 補題 は 整列 可能 定理 や 選択 公理 と 同値 で ある 。

この 補題 は 関数 解析 において は ハーン・バナッハ の 定理 を 、 線型 代数 において は 基底 の 存在 を 、 位相 空間 論 において は 「 任意 の コンパクト 集合 の 直積 は また コンパクト で ある 」 という チコノフ の 定理 を 、 そして 代数 学 において は 全て の ゼロ で ない 環 は 極大 イデアル を 持ち 、 任意 の 体 における 代数 的 閉包 の 存在 を それぞれ 証明 する 際 に 使わ れる 。

彼 は 整列 可能 定理 に 代わる 集合 論 の 公理 として 提案 し 、 代数 における いくつ か の 応用 を 行っ て 見せ た 。

数学 誌 の The Mathematical Intelligencer の 読者 調査 に よる と 、 この 等式 は 「 数学 における 最も 美しい 定理 」 ( The most beautiful theorem in mathematics ) に 選出 さ れ て いる 。

例えば 、 三 平方 の 定理 や 中 線 定理 （ の 厳密 な 類似 対応 物 ） は 、 ヒルベルト 空間 において も 成り立つ 。

そうして 得 られ た 幾何 学 的 かつ 解析 学 的 な 仕組み は 今日 で は ふつう { 仮 リンク | リース ・ フィッシャー の 定理 | en | Riesz – Fischer theorem } として 知ら れる 。

例えば 、 リース の 表現 定理 は 1907 年 に フレシェ と リース が それぞれ 独立 に 示し た フォン ・ ノイ マン は 自身 の 非 有界 エルミート 作用素 の 研究 において 「 抽象 ヒルベルト 空間 」 という 用語 を 創出 し た 。

特に 、 存在 する 殆ど の ヒルベルト 空間 論 の 根底 に ある 、 自己 随伴 作用素 の スペクトル 定理 が C & lowast ;- 環 に対して 一般 化 さ れ た 。

たとえば 、 調和 解析 における ポアソン 核 は 単位 球体 上 の 自乗 可 積分 調和 関数 全体 の 成す ヒルベルト 空間 （ これ が ヒルベルト 空間 を 成す こと は 調和 関数 に対する 中間 値 の 定理 から わかる ） に対する 再生 核 で ある 。

楕円 型 線型 方程式 に対して 、 かなり の クラス の 問題 が 一意的 に 解ける こと を 保証 する 幾何 学 的 結果 の 一つ が { 仮 リンク | ラックス・ミルグラム の 定理 | en | Lax – Milgram theorem } で ある 。

多く の 楕円 型 偏 微分 方程式 に対して 同様 の やり方 で ヒルベルト 空間 による 定式 化 が できる ので 、 それ 故に ラックス・ミルグラム の 定理 は それら の 解析 における 基本 的 な 道具 と なる 。

フーリエ 変換 が ある ヒルベルト 空間 （ 「 時間 領域 」 ） から 別 な ヒルベルト 空間 （ 「 周波数 領域 」 ） へ の 等 距 変換 で ある こと を 主張 する プランシュレル の 定理 として 、 フーリエ 変換 は 幾何 学 的 な 意味 を 持つ 。

この フーリエ 変換 の 等 距性 は 、 例えば 非 可 換 調和 解析 に 現れる 球 関数 に対する プランシュレル の 定理 など が 示す とおり 、 抽象 的 な 調和 解析 で は 繰り返し 登場 する 主題 で ある 。

この こと は 、 任意 の 最小 化 列 ( dn ) ⊂ D が （ 中 線 定理 により ） コーシー 列 と なる こと 、 従って （ 完備 性 により ） D 内 の 点 に 収束 する が 、 それ が ノルム 最小 で ある こと を 示す こと で 証明 できる 。

リース の 表現 定理 は 内積 の 存在 に関して 基本 的 で ある ばかり で なく 、 双対 空間 の 完備 性 に関して も 基本 的 で ある 。

事実 、 定理 から は 任意 の 内積 空間 の 位相 的 双対 が もと の 空間 の 完備 化 と 同一 視 できる こと が 導か れる 。

リース の 表現 定理 から 直ちに 導か れる 結果 として は 他 に も 、 ヒルベルト 空間 H の 回帰 性 、 即ち H から その 二 重 双対 空間 へ の 自然 な 写像 が 同型 と なる こと も 挙げ られる 。

逆 に 、 ヒルベルト 空間 における 任意 の 有界 列 は 弱 収束 する 部分 列 を 含む （{ 仮 リンク | アラオグル の 定理 | en | Alaoglu ' s theorem }） 。

この 結果 は 、 Rd 上 の 連続 関数 に対して ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラス の 定理 を 用いる の と 同じ やり方 で 、 連続 凸 関数 に対する 最小 値 定理 の 証明 に 用い られる 。