この 定理 において 、 三角形 が 退化 する ため の 必要 十 分 条件 は 、 点 P が 三角形 ABC の 外接 円上 に 位置 する こと で ある 。

この 定理 は 簡潔 に 証明 できる 。

P , B , P ' が 同 一直線 上 に 並ぶ 場合 は 三角形 が 退化 する が 、 その ため の 条件 は トレミー の 定理 より 直ちに 求まる 。

ポンペイウ の 定理 は 、 3 次元 空間 内 で 考え て 、 P が 正三角形 ABC と 同一 平面 上 に ない 場合 でも 成立 する 。

フラクタル 圧縮 （ フラクタル あっしゅく 、 英 : Fractal compression ） と は 、 { 仮 リンク | コラージュ 定理 | en | collage theorem } に 基づい た 高い 圧縮 率 を 達成 する 静止 画像 の 非 可逆 圧縮 手法 で ある 。

原画 像 の 縮小 画像 から 生成 さ れ た コラージュ が 原画 像 を 良好 に 近似 し て いる なら ば 、 任意 の 画像 から 同様 に し て 生成 さ れ た コラージュ も 反復 すれ ば 原画 像 を 良好 に 近似 する よう に なる 、 という コラージュ 定理 に 基づい て いる 。

この コラージュ 定理 は フラクタル の 一 種 で ある 反復 関数 系 に 関わる 定理 で あり 、 フラクタル 圧縮 の 発明 者 で ある Michael Barnsley に よる 。

コラージュ 定理 が ピクセル 計算 に 基づく 定理 で は ない こと から フラクタル 圧縮 は 、 写真 を はじめ と し た ラスター 形式 の 画像 を 対象 と し て いる に も 関わら ず 圧縮 後 は 非 ピクセル ベース の 情報 を 扱う 特徴 が ある 。

空間 の 曲 率 は 、 空間 座標 において ピタゴラス の 定理 が 有効 で ある か 否 か の 、 数学 的 に 表す 。

以下 の 例 で は 、 局所 的 な 長 さ の 関連 を 表す ため に 、 ピタゴラス の 定理 の 代わり と なる 式 が 必要 で ある 。

Ω = 1 以外 で は 、 ピタゴラス の 定理 は 有効 で は ない 。

アインシュタイン 、 ポドルスキー 、 ローゼン の 示し た 仮定 は 1967 年 に { 仮 リンク | サイモン・コッヘン | en | Simon B . Kochen } と { 仮 リンク | アーンスト・シュペッカー | en | Ernst Specker } が 提出 し た { 仮 リンク | コッヘン・シュペッカー 定理 | en | Kochen – Specker theorem } によって 否定 さ れ た 。

これ を デデキント の 定理 と 言う 。

これら の 文書 は すべて ピタゴラス 数 について 述べ て おり 、 ピタゴラス の 定理 の 内容 は 最も 早く 最も 広まっ た 数学 の 法則 の ひとつ で ある と みなせる 。

普遍 性 を 仮定 する 定理 （ 証明 さ れ た 真 なる 命題 ） という 概念 は 、 ギリシア 文明 以降 で 見 られる よう に なる 。

数学 的 帰納 法 を 用い て いる 最初 の 数学 的 証明 は 、 西暦 1000 年 頃 の アル ＝ カラジ の 著作 に 現れ 、 二 項 定理 、 パスカル の 三角形 、 積分 立方 数 合計 の 証明 に 使わ れ た 。

シュルバ・スートラ （ 紀元前 800 〜 500 年頃 ） は 幾何 学 テキスト で あり 、 無理 数 、 素数 、 帰一 算 、 立方根 を 使用 し 、 2 の 平方根 を 小数点 第 5 位 まで 計算 し 、 円 積 問題 の 方法 論 を 与え 、 線型 方程式 と 二 次 方程式 を 解き 、 ピタゴラス 数 の 理論 の 代数 的 な 展開 と 、 ピタゴラス の 定理 の 記述 および 数値 的 な 証明 が 与え られ て いる 。

彼 の 拍子 組合 わせ 論 は 、 二 項 定理 に 類似 する 。

7 世紀 に 、 ブラーマグプタ は ブラーマグプタ の 定理 、 ブラーマグプタ の 二 平方 恒等 式 、 ブラーマグプタ の 公式 を 定め 、 『 ブラーマ・スプタ・シッダーンタ 』 で 初めて 、 明快 に 0 を 空位 および 数字 の 両方 として 使用 し 、 インド ・ アラビア 数字 を 説明 し た 。

彼 は また 、 ロル の 定理 （ 平均 値 の 定理 の 特殊 な 場合 ） を 述べ 、 ペル 方程式 を 研究 し 、 正弦 関数 の 導 関数 を 調査 し た 。