ボルツマン は 、 分子 的 な ふるまい から 、 エントロピー が 増大 する こと を 示し て いる （ 詳しく は H 定理 参照 )。

ただし 、 H 定理 は 「 分子 的 混沌 の 仮定 」 を 置い て おり 、 一般 に 証明 さ れ た もの で は ない 。

ポアンカレ の 回帰 定理 と は 、 アンリ・ポアンカレ ( H . Poincaré , 1854 - 1912 ) により 証明 さ れ た 解析 力学 上 の 定理 で ある 。

英語 で は " Poincaré ' s recurrence theorem " だ が 、 訳語 として は ポアンカレ の 再帰 定理 と ポアンカレ の 回帰 定理 と が ある 。

ポアンカレ の 再帰 性 定理 と さ れる こと も ある らしい 。

ポアンカレ は 天体 の 三 体 問題 の 研究 の 中 で この 定理 に 至り 、 1890 年 に 発表 し た 。

単に 回帰 定理 と も いう 。

解析 力学 で は 力学 系 の ひとつ の 状態 は 位相 空間 ( 例えば 質点 の 位置 と 運動 量 を 座標 と する 空間 ) 上 の 点 で 表さ れ 、 その 点 の 近傍 は その 状態 に 近い 状態 の 集まり を 表し 、 回帰 定理 は この 位相 空間 上 の 力学 系 に関する 定理 で ある 。

ここ で ある 条件 、 つまり 回帰 定理 の 成り立つ 条件 と は 、 広く 一般 的 に いえ ば 力学 系 が 保 測 的 ( 位相 空間 内 の 点 集合 の 体積 が 保存 さ れる こと ) で 、 その 軌道 が 有限 領域 に 限ら れ て いる こと で ある 。

例えば ニュートン 力学 の 成り立つ 系 で 等 エネルギー 面 を 動く 軌道 ( エネルギー が 保存 さ れる 状態 の 軌道 ) で は 回帰 定理 が 成り立つ 。

つまり 通常 現実 的 に 考え 得る エネルギー の 出入り の ない 系 で は 回帰 定理 が 成り立つ と 考え られる 。

回帰 定理 が 孤立 系 の 現象 の 厳密 な 繰り返し を 示し た と 解釈 する 人 も いる 。

回帰 定理 または 再帰 定理 の 数学 的 表現 や 証明 は 解析 力学 の テキスト など に 記載 さ れ て いる 。

ボルツマン は 熱 力学 第 二 法則 を 原子 論 で 説明 する こと を 試み 、 H 定理 を 発表 し た 。

これ に対して エルンスト・ツェルメロ ( E . Zermelo ) は 、 1896 年 に ポアンカレ の 回帰 定理 を 根拠 と する 、 再帰 パラドックス ( recurrence paradox ) を 発表 し て 批判 し た 。

詳細 は 不可逆 性 問題 および H 定理 を 参照 の こと 。

日本語 の 文献 で は 再帰 定理 と なっ て いる 場合 と 回帰 定理 と なっ て いる 場合 と が ある ので 注意 する こと 。

9 世紀 中頃 、 渤海 大仁 秀 は 虞 婁靺 鞨 の 地 で あっ た 沿海州 を ぼ 領有 し 、 定理 府 の 府 城 として 定 州 が 設置 さ れ た 。

1896 年 に 素数 定理 を 証明 し た こと で 知ら れる 。

定理 1 の 仮定 は 幾分 弱める こと が できる 。