弱 収束 部 分列 の 存在 性 は 、 { 仮 リンク | エーベルライン・スムリアン の 定理 | en | Eberlein – Šmulian theorem } の 特別 の 場合 で ある 。

開 写像 定理 の 主張 は 「 バナッハ 空間 から バナッハ 空間 へ の 連続 かつ 全 射 な 線型 写像 は 、 開 集合 を 開 集合 に 写す という 意味 で 開 写像 で ある 」 こと を いい 、 その 系 として の 有界 逆 写像 定理 は 「 バナッハ 空間 から バナッハ 空間 へ の 連続 全 単 射 な 線型 写像 は （ 逆 写像 も 連続 で ある よう な 連続 線型 写像 の 意味 で ） 同型 で ある 」 こと を 主張 する 。

ヒルベルト 空間 版 の この 定理 の 証明 は 、 一般 の バナッハ 空間 で やる より も 随分 と 簡単 に なる 。

開 写像 定理 は 閉 グラフ 定理 と 同値 で ある 。

（ 幾何 学 的 な ） ハーン ・ バナッハ の 定理 は 、 閉凸 集合 を その 外 に ある 任意 の 点 から ヒルベルト 空間 の 超 平面 によって 分割 できる こと を 示す もの で ある 。

表現 論 における { 仮 リンク | ピーター ・ ワイル の 定理 | en | Peter – Weyl theorem } に よれ ば 、 ヒルベルト 空間 上 で 定義 さ れる { 仮 リンク | コンパクト 群 | en | Compact group } の ユニタリ 表現 は 必ず 有限 次元 表現 の 直和 に 分解 さ れる こと が 保証 さ れる 。

非 有界 正規 作用素 に対する スペクトル 定理 も 存在 する 。

ファイル : KunitachiStaSouthEx 003 . jpg | 国立 駅 南口 旧 駅舎 （ 2006 年 10 月 10 日 ） ファイル : JR Kunitachi station South . jpg | 南口 遠景 （ 2006 年 10 月 8 日 ） ファイル : Kunitachi Station . jpg | 夜 の 旧 南口 駅舎 （ 2002 年 12 月 24 日 ） 数 論 において 、 フェルマー の 小 定理 （ フェルマー の しょうてい り 、 Fermat ' s little theorem ） は 素数 の 性質 について の 定理 で あり 、 実用 として も RSA 暗号 に 応用 さ れ て いる 定理 で ある 。

有名 な フェルマー の 最終 定理 と 区別 する ため に あえて 「 小 」 定理 と 称さ れ て いる 。

この 定理 は ピエール・ド・フェルマー の 名 を 冠する が 、 フェルマー の 他 の 予想 と 同じく 、 フェルマー 自身 によって 証明 が 与え られ て い た こと が 確認 さ れ て いる わけ で は ない 。

この 定理 に対する 証明 は ゴットフリート・ライプニッツ によって 初めて 与え られ た 。

二 項 定理 から 、 数学 的 帰納 法 を 用い て 証明 する 方法 が 簡便 で ある 。

元 の 定理 は と 同値 で ある （ a と p は 互いに 素より 、 両辺 を a で 割れる から ） 。

特に n が 素数 の とき は 、 φ ( n ) = n − 1 より 、 フェルマー の 小 定理 に 一致 する 。

カーマイケル の 定理 は オイラー の 定理 を 精緻 化 し た もの で 、 最小 の m を 与える 。

カーマイケル の 定理 は 、 a と n が 互いに 素 な とき 、 a { sup | λ ( n )} ≡ 1 ( mod n ) が 成り立つ という 定理 で ある 。

フェルマーテスト は 、 フェルマー の 小 定理 の 対偶 を 用い て 確率 的 素数 判定 を 行う アルゴリズム で ある 。

フェルマー の 小 定理 の 対偶 を とる と 、 これ は 次 の よう に 、 自然 数 n が 合成 数 で ある ため の 十分 条件 を 与える 。

フェルマーテスト が 「 合成 数 」 と 出力 し た とき 、 上 の フェルマー の 小 定理 の 対偶 によって n は 実際 に 合成 数 で ある 。

フェルマー の 小 定理 ・ オイラー の 定理 は 一般 の 有限 群 の 定理 に 拡張 できる 。