オイラー の 定理 は G が 乗法 群 ( Z / nZ ){ sup | × } の とき の 場合 で あり 、 フェルマー の 小 定理 は さらに n が 素数 の 場合 で ある 。

割っ て 余り を 取る という 操作 を 、 最悪 で も 小さい 方 の 十進法 で の 桁 数 の 約 5 倍 繰り返せ ば 、 最大公約数 に 達する （ ラメ の 定理 ） 。

最大公約数 を 求める のに 、 素因数 分解 し て みれ ば いい と 考える 人 が いる かも しれ ない が 、 この 定理 は 素因数 分解 を 用いる より も ユークリッド の 互除 法 による 方 が はるか に 速い という こと を 述べ て いる 。

この よう な 冪 集合 の 中 へ の 順序 同型 の 構成 は 、 より 広汎 な { 仮 リンク | 分配 束 | en | distributive lattice } と 呼ば れる 半 順序 集合 の クラス に対して 一般 化 する こと が できる （{ 仮 リンク | バーコフ の 表現 定理 | en | Birkhoff ' s representation theorem } の 項 を 参照 ） 。

位相 空間 が 「 sober 性 」 という 弱い 性質 を 満たす 時 は この 順序 構造 のみ で 位相 空間 の 構造 が 特徴 づけ られる 事 が 知ら れ て いる （ ストーン の 双対 性 定理 ） 。

微積分 学 の 定理 の 内 、 特に 関数 の 極限 に関する 定理 の 多く は 、 この ε - δ 論法 によって 証明 さ れる 。

ほか に も 任意 の 集合 上 の { 仮 リンク | マーサー の 定理 | en | Mercer ' s theorem | label = 半 正 定値 核 函数 } の 表現 など が 例 に 挙げ られる 。

と は いえ 、 何 か の 定理 や 定義 の 意味 を より 明らか に する ため に 証明 を 含め たく なる 時 が あり ます 。

V が ヒルベルト 空間 なら ば 、 リース の 表現 定理 により 、 任意 の 行列 要素 は 内積 を 用い て 、 適当 な ベクトル v , w に対する なる 形 に 書く こと が できる 。

1928 年 の 学位 論文 で は 既に モーデル・ヴェイユ の 定理 を 含む もの で あっ た 。

谷山 ・ 志村 の 定理 の 発案 者 で も ある 日本 の 数学 者 、 谷山 豊 は ヴェイユ を 評し て 「 歯 に 衣 を 着せ ない 」 、 「 その 批判 は 辛辣 で ある 」 、 「 温厚 な 大 先生 方 に は 余り 評判 は 宜しく ない 」 と する 一方 で 「 それ を 一概に 排斥 し ない だけ の 自由 な 空気 が なかっ た なら ば 、 数学 は 窒息 し て しまっ た で あろ う 」 と し て いる 。

グラフ 理論 ・ 数 論 など における 確率 論 的 方法 、 組合せ 論 の 種々 の テクニック は 著しく 、 特に セルバーグ と共に 素数 定理 の 初等 的 な 証明 を 発見 し た こと は 有名 で ある 。

円 の 性質 について 15 の 提議 が 書か れ た アルキメデス の 『 補助 定理 集 』 ( Book of Lemmas または Liber Assumptorum ) は 、 アラブ 語 で 書か れ た 写し が 知ら れ て いる 。

彼 は ガロア 理論 を 用い 、 ニールス・アーベル による 「 五 次 以上 の 方程式 に は 一般 的 な 代数 的 解 の 公式 が ない 」 という 定理 （ アーベル - ルフィニ の 定理 ） の 証明 を 大幅 に 簡略 化 し 、 また 、 より 一般に どんな 場合 に 与え られ た 方程式 が 代数 的 な 解 の 表示 を 持つ か について の 特徴 付け を 与え た 。

また リシャール から 代数 方程式 解法 に関する ジョゼフ ＝ ルイ ・ ラグランジュ の 論文 を 薦め られ た よう で 、 その 影響 で 1829 年 4 月 1 日 に 最初 の 論文 「 循環 連分数 に関する 一 定理 の 証明 」 （ Démonstration d ' un théorème sur les fractions continues périodique ） を 発表 し て いる 。

その他 ヒルベルト 空間 、 ヒルベルト の 零 点 定理 など に 名前 が 残っ て いる 。

彼 の 数学 上 の 業績 は パップス ＝ ギュルダン の 定理 と 呼ば れる 回転 体 の 表面積 と 体積 に関する 定理 しか おそらく 知ら れ て い ない 。

彼 は その 第 七 巻 において 、 パップス ＝ ギュルダン の 定理 と 呼ば れる 定理 を 証明 し て いる が 、 これ は 後世 の 数学 者 に 大きな 影響 を 与え た 。

その他 、 三角形 の 中 線 定理 （ パップス の 中 線 定理 ） や 射影 幾何 学 における パップス の 定理 （{ 仮 リンク | パップス の 六角形 定理 | en | Pappus ' s hexagon theorem }） など 平面 幾何 学 の いくつ か の 定理 に 彼 の 名前 が 残っ て いる 。

フェルマー の 最終 定理 の よう に 、 数 論 の いくつ か の 問題 について は 、 他 の 数学 の 分野 に 比し て 問題 そのもの を 理解 する の は 簡単 で ある 。