収束 級数 に その 和 を 対応 さ せる 作用素 は 線型 で あり 、 ハーン - バナッハ の 定理 に よれ ば 、 これ を 部分 和 が 有界 と なる 任意 の 級数 を 総和 する 総和 法 に 拡張 する こと が できる 。

{ 仮 リンク | ウィーナー の タウバー 型 定理 | en | Wiener ' s tauberian theorem } の 出現 が 時代 の 契機 と なっ て 、 フーリエ 解析 における バナッハ 環 の 手法 と の 予期 せ ぬ 関連 が この 主題 に 導入 さ れる こと と なる 。

熱 力学 における カルノー の 定理 と は 、 熱 機関 の 最大 効率 に関する 定理 で ある 。

この とき 、 以下 の 定理 が 成り立つ 。

これ が カルノー の 定理 で ある 。

カルノー の 定理 は 、 この 水蒸気 の 代わり に 他 の 気体 （ あるいは 液体 、 固体 ） を 使用 し て も 最大 効率 は 変わら ない こと を 意味 し て いる 。

これ が 、 カルノー の 定理 の 最初 の 表現 で ある 。

カルノー は この 定理 から 、 カルノー サイクル の 効率 が 温度 のみ で 決まる 関数 で 表せる こと を 指摘 し た 。

そして カルノー と 同じ よう に 、 いくつ か の 気体 について カルノー 関数 を 求め 、 カルノー の 定理 が 正しい こと を 確かめよ う と し た 。

そして その 論文 の 中 で 、 カルノー の 定理 を 、 熱 素 を 使わ ない 形 で 証明 し た 。

カルノー の 定理 は 、 クラウジウス の 主張 （ 熱 は 低温 から 高温 に ひとりでに 移動 する こと は ない ） における 大きな 論拠 と なっ て いる 。

ブーケ の 任意 の 被覆 が グラフ で ある こと に 着目 すれ ば 「 自由 群 の 任意 の 部分 群 は 自由 で ある 」 という ニールセン - シュライヤー の 定理 の 簡単 な 証明 が 得 られる 。

2012 年 4 月 から 2013 年 9 月 まで 、 『 ピカル の 定理 』 （ フジテレビ ） に 初 の バラエティ 番組 レギュラー 出演 。

Agda （ アグダ ） は 定理 証明 器 、 すなわち 数学 的 な 証明 を 検証 する コンピュータ プログラム で ある 。

他 の 定理 証明 支援 系 で は スクリプト によって 「 戦略 」 を 指定 し て 証明 を 操作 する の に対して 、 Agda で は 証明 を 項 として 表し 直接 操作 する という アイデア に 基づい て いる 。

ある 数学 の 教授 が 言っ た 「 戦争 に 勝っ た 定理 」 を レイェフスキ は 使っ て 成果 を 挙げ た わけ で ある 。

定理 や 証明 の 存在 は いつも ルベーグ 測度 や ヒルベルト 空間 論 によって 裏付け られ て いる 。

全体 的 な 流れ として は 、 多 変数 実 関数 の 微分 、 バナッハ 空間 上 で 定義 さ れる フフレッシェ 微分 など 解析 学 系 の 話題 から はじまり 、 微分 形式 や その 微分 と 積分 、 ストークス の 定理 など 幾何 学 的 な 話 、 そして ソボレフ 空間 を 定義 し て から ソボレフ 空間 上 の 汎 関数 の 変 分 、 フーリエ 級数 、 フーリエ 変換 など が 紹介 さ れる 。

それら の 多項式 は 初等 的 に 定義 さ れる ものの 、 表現 論 において 必要 と なる 深い 性質 は 、 例えば 交叉 コホモロジー や 偏屈 層 、 ベイリンソン・ベルンシュタイン・ドリーニュ の 分解 定理 の よう に 、 洗練 さ れ た 現代 的 な 代数 幾何 や ホモロジー 代数 の 手法 から 導か れる 。

王立 工 学校 （ École Royale du Génie ） に い た 時 に 定式 化 し た 曲面 の 曲 率 と 曲 率 半径 に関する ムーニエ の 定理 で 知ら れる 。