核 ker ( T ) は V の 部分 空間 で あり 、 第 一同 型 定理 は 商 空間 V / ker ( T ) が W における V の 像 im ( T ) に 同型 で ある こと を いう もの で ある 。

ここ から 直ちに 得 られる 系 として 、 有限 次元 ベクトル 空間 に対する 次元 定理 の 一つ で ある 階数 ・ 退化 次数 定理 が ある 。

数学 において 、 モール - マスケローニ の 定理 （ モール - マスケローニ の て いり 、 英 ： Mohr – Mascheroni theorem ） と は 、 定規 と コンパス で 作図 可能 な 任意 の 幾何 学 的 作図 問題 は 、 コンパス のみ で も 可能 で ある こと を 述べる もの で ある 。

この 定理 は 、 { 仮 リンク | ロレンツォ・マスケローニ | en | Lorenzo Mascheroni } が 1797 年 に 独立 し て 発見 し た 。

二つ の 円 の 交点 は 、 明らか に コンパス のみ で 作図 可能 で ある が 、 同 定理 は 、 二 番目 と 三 番目 も コンパス のみ で 作図 できる こと を 証明 する こと により 、 定規 と コンパス で 可能 な 任意 の 作図 問題 が 、 コンパス のみ で 作図 できる こと を 示す もの で ある 。

ネーター は この 概念 を 三 種類 の 同型 定理 の 独自 の 定式 化 に 用い た 。

群 に対する ジョルダン・ヘルダー の 定理 は 作用 域 を 持つ 群 の 文脈 で 考え て も 成立 する 。

この よう な 一般 性 を 持つ に も かかわら ず 、 群 作用 の 理論 は （ 軌道 - 安定 化 群 定理 ( orbit stabilizer theorem ) の よう な ） 適用 範囲 の 広い 定理 を 含み 、 さまざま な 分野 で の 深い 結果 を 示す の に 用い られる 。

従って 、 任意 の 群 G は それ 自身 の 元 上 の 対称 群 Sym ( G ) に 埋め込める （ これ は ケイリー の 定理 として 知ら れる ） 。

サッケーリ は 前述 し た 論文 「 あらゆる 汚点 から 清め られ た ユークリッド 」 で 第 5 公準 の 代わり に 鋭角 仮定 又は 鈍角 仮定 を 公準 として さまざま な 定理 を 導き 、 特に 鋭角 仮定 を 代わり に 付け加える と 第 2 公準 と 矛盾 する 結果 が 得 られる こと を 書い た 。

したがって 残り の 鈍角 仮定 から 矛盾 が 発生 する こと を 導き出せ ば 第 5 公準 を 他 の 4 つ の 公準 から 導き出せる 定理 だ という こと が 証明 さ れる の だ が 、 彼 が 導き出し た 鈍角 仮定 の 反証 は その 仮定 に 第 5 公準 が 使わ れ て い た ため 当初 の 目的 は 遂に 達成 でき なかっ た （ 第 5 公準 を 仮定 する と 第 5 公準 に 反する 命題 が 反証 できる の は 当たり前 で ある ） 。

サッケーリ が 自分 の 論文 の 中 で 鈍角 仮定 から 導き出し た 定理 は 後 に ロシア の 数学 者 ニコライ・ロバチェフスキー や ハンガリー の ボーヤイ・ヤーノシュ 、 ドイツ の カール ・ フリードリヒ・ガウス によって 再 発見 さ れ 双 曲 幾何 学 の 定理 として 認識 さ れる よう に なる 。

サッケーリ と 彼ら の 大きな 違い は サッケーリ が ユークリッド 幾何 の 完全 性 を 信じ 、 それ に 反する 公理 から 導き出さ れ た これら の 定理 を 反証 さ れる べき 誤っ た 定理 と 考え て い た の に対し 、 ロバチェフスキー ら は 鈍角 仮定 （ 彼ら は を 含む 三角形 の 内角 の 和 を 使っ た 公理 で は なく ジョン ・ プレイフェア による 一 点 を 通る 平行 線 の 数 を 使っ た 公理 を 使っ た ため こういう 言い方 は し て い ない ） を 含む 5 つ の 公準 から 導か れ た ユークリッド 幾何 学 と は また 別 の 新しい 幾何 学 の 定理 と 認識 し て い た こと で ある 。

サッケーリ が これら の 定理 を 新しい 幾何 学 の 定理 と 考え て 書い て い たら 彼 が 非 ユークリッド 幾何 学 の 創始 者 と 言わ れ て い た こと だろ う 。

安 辺 府 ・ 鄚頡 府 ・ 定理 府 が 離反 する と 、 安 端 が これ を 平定 し た 。

Lickorish - Wallace の 定理 に よる と 、 任意 の 閉 向き 付け 可能 な 三 次元 多様 体 は 3 次元 球面 の 中 の 絡み 目 に 沿っ た 手術 で 得 られる 。

流体 力学 における ベルヌーイ の 定理 の 慎重 な 検討 の 後 、 上下 逆 向き の 飛行 翼 断面 を 車両 へ 応用 する 効果 について 考え を まとめ 、 エンジニアリング ・ ヘッド の トニー・ラッド に この 文書 を 託し た 。

後方 の 研究 は 彼 の 死後 、 マルリェー の 定理 と 名付け られ た 。

事業 者 間 精算 料金 において 使用 さ れる チャージ エリア ( CA ) を 識別 する コード で あり 、 2 地点 の 距離 は 各々 の CA の 位置 座標 に 基づき ピタゴラス の 定理 により 求める こと が できる 。

カービー の 定理 に よる と 、 2 つ の 3 次元 球面 へ の 整数 手術 が 同値 で ある とき 、 また その とき に 限っ て 、 その 2 つ の 手術 を 表す 枠 付き 絡み 目 が 次 の よう な カービー 移動 （ kirby move ） と 呼ば れる 変形 と 同位 変形 の 有限 回 の 組み合わせ によって 移り あう 。