カービー の 定理 の 証明 は 難しく 、 4 次元 セルフ 理論 と 呼ば れる もの を 使う 。

正方形 同士 の 接する 4 つ の 頂点 が 直角 三角形 を 形成 する ため 、 ピタゴラス の 定理 に 名 を 残す ピタゴラス の 名前 が 付け られ た 。

ネター・エンリケ・ペトリ 定理 、 錐 体 の 定理 、 非特異 ファ ノ 多様 体 上 で の 線 の 存在 、 ログ フリップ の 存在 など 代数 幾何 学 の 基本 的 な 定理 を 証明 し た 。

学生 時代 から 頭角 を 現し 、 1970 年 に は ネター・エンリケ・ペトリ 定理 を 証明 し た 。

1985 年 に 発表 さ れ た The nonvanishing theorem は 、 この 分野 で もっとも 基本 的 な 定理 の ひとつ で 、 錐 体 の 定理 、 半 豊富 の 定理 など の 証明 など に 使わ れる 。

彼 が 2001 年 に 証明 し た 4 次元 フリップ の 存在 に関する 定理 は 、 2 冊 の 本 （ 『 Flips for 3 - folds and 4 - folds 』 と 『 Birational geometry : linear systems 　 and finitely - generated algebras 』 ） で 詳しく 説明 さ れ て いる 。

ケーリー・ハミルトン の 定理 と 上 の 注意 により 、 最小 多項式 は 常に 固有 多項式 を 割り切る こと が 従う 。

スチュワート の 定理 （- て いり ） は 、 平面 幾何 学 において 三角形 の 頂点 から 辺 に 引か れ た 線分 の 長 さ に関する 定理 で ある 。

置塩 信雄 が 1961 年 に 発表 し た 置塩 の 定理 で は 、 資本 家 が コスト カット の 技術 を 追求 し たり 、 実際 の 賃金 が 上がら なけれ ば 、 利潤 率 は 低下 し ない （ 必ず 上がる ) こと を 証明 し た 。

数学 における ストーン ・ ワイエルシュトラス の 定理 と は 、 局所 コンパクト 空間 上 の 連続 関数 の 代数 系 における 部分 代数 の 稠密 性 に関する 定理 で ある 。

カール ・ ワイエルシュトラス によって 1885 年 に 示さ れ た ワイエルシュトラス の 近似 定理 が その 原型 で あり 、 1937 年 に マーシャル ・ ストーン によって 大幅 に 一般 化 さ れ た 現在 の 形 の 結果 が 得 られ た 。

ワイエルシュトラス の 近似 定理 は 、 閉 区間 上 の どんな 連続 関数 も 多項式 関数 によって 任意 の 精度 で 一様 に 近似 できる こと を 述べ て いる 。

X が 実 閉 区間 で ある とき 多項式 関数 の なす 代数 系 は 上記 の 条件 を 共に 満たす ため 、 ワイエルシュトラス の 近似 定理 は ストーン ・ ワイエルシュトラス の 定理 の 特別 な 場合 に なっ て いる 。

ワイエルシュトラス が 証明 し た の は 以下 の よう な 形 の 近似 定理 で ある 。

ワイエルシュトラス の 近似 定理 と は 、 この バナッハ 環 の 中 で 多項式 関数 の なす 部分 環 が 稠密 で ある という こと を のべ て いる 。

ストーン ・ ワイエルシュトラス の 定理 は 以下 の よう に 述べ られる 。

X として 閉 区間 [ a , b ] を とる とき 、 多項式 関数 の なす 環 は 定数 関数 を 含ん で かつ X の 点 を 分離 する ので 、 ストーン ・ ワイエルシュトラス の 定理 は ワイエルシュトラス の 近似 定理 の 拡張 に なっ て いる 。

コンパクトハウスドルフ 空間 上 の 複素 数値 連続 関数 の なす 環 について も 部分 環 の 稠密 性 を みちびく 同様 の 定理 が 知ら れ て いる 。

この 定理 は 実 の 場合 の ストーン・ワイエルシュトラス の 定理 と 同値 に なる 。

局所 コンパクト 空間 上 の 連続 関数 で 無限 遠 で 消え て いる よう な もの に対して も 同様 の 稠密 性 の 条件 を 与える 定理 が 成り立っ て いる 。