フロベニウス の 定理 から 、 実数 体 R 上 の 四 元 数 環 は 、 R 上 の 二 次 全 行列 環 と ハミルトン の 四 元 数 体 の 二 種類 しか ない こと が わかる 。

被害 者 の 名前 を 見 た 浜村 渚 は 名前 に ある 共通 点 が ある こと に 気づき 、 1 つ の 数学 の 定理 に 結び付ける 。

第 二 種 基礎 研究 と は 、 特定 の 社会 経済 的 な 必要 性 の ため に 、 すでに 確立 さ れ た 複数 の 理論 （ 法則 、 原則 、 定理 など ） を 組み合わせ 、 観察 、 実験 、 理論 計算 を 繰り返し 、 その 手法 と 結果 に 規則 性 や 普遍 性 の ある 知見 および 目的 を 実現 する 具体 的 筋道 を 導き出す 研究 を いう 。

これ は 「 未知 現象 を 観察 、 実験 、 理論 計算 により 普遍 的 な 理論 （ 法則 、 原理 、 定理 など ） として 発見 、 解明 、 形成 する ため の 研究 」 で ある 第 一 種 基礎 研究 と 対比 さ れる 。

その後 、 わずか 5 回 の 放送 で 打ち切り に なっ た 『 世界 は 言葉 で でき て いる 』 の 後継 番組 および 、 4 月 から 放送 予定 の 『 ピカル の 定理 』 まで の つなぎ 番組 として 、 2013 年 1 月 23 日 から 3 月 27 日 まで の 約 2 ヶ月 間 の 期間 限定 で 、 シーズン 2 として ゴールデンタイム （ 第 1 期 ） で の レギュラー 放送 再開 が 決定 し た 。

2013 年 10 月 から 、 前月 を もっ て 終了 と なる 『 ピカル の 定理 』 の 後 番組 として 、 シーズン 3 として ゴールデンタイム （ 第 2 期 ） で の レギュラー 放送 再開 と 同時に データ 放送 を 開始 し 、 DLE 製作 の Flash アニメーション 『 世界 行っ て み てる ヒト は こんな ヒト だっ た !?』 の コーナー を 追加 し た 。

ネーター の 定理 によって 、 ある 変換 の 下 で の 不変 性 は ある 根本 的 な 保存 則 を 表す 。

量子 の 不 確定 性 と は これら の 状態 が 元 の 状態 を 変化 さ せ て しまう こと なく 観測 する こと が 不可能 で ある という こと を 意味 する ( 複製 不能 定理 )。

次元 について の 重要 な 結果 として 、 線型 写像 に対する 階数 ・ 退化 次数 定理 が 挙げ られる 。

ティッツ は 、 という 驚く べき 定理 を 証明 し た 。

建物 による 群 の 決定 について の ティッツ の 結果 は 、 モス トウ と マーグリス の 剛性 定理 および マーグリス 算術 に 深い 関連 が ある 。

ワイエルシュトラス の 近似 定理 に よれ ば 、 閉 区間 [ a , b ] 上 の 任意 の 複素 数値 連続 函数 は 適当 な 多項式 函数 によって 一様 に 近似 する こと が できる 。

より 一般 に 、 任意 濃度 κ に対し 、 高々 κ の 濃度 の 稠密 部分 集合 を 持つ 空間 の 高 々 2 κ 個 の 直積 を とっ た 空間 は それ 自身 高 々 κ の 濃度 の 稠密 部分 集合 を 持つ （ ヒュー イット ＝ マルツェフスキ ＝ ポンディツェリ の 定理 ） 。

非可分 空間 に対して も 証明 する こと が できる 定理 において 構成 的 証明 が 可分 空間 に対して のみ 存在 する という 場合 も 多い ため 、 可分 性 は 数値 解析 や 構成 的 数学 において 特に 重要 で ある 。

この 手 の 定理 の 有名 な 例 に ハーン ＝ バナッハ の 定理 が ある 。

ウリ ゾーン の 距離 化 可能 定理 は 第 二 可算 な 正則 空間 は 距離 付け 可能 で ある という こと を 言っ て いる 。

型付け られ た ラムダ 項 は 正規 形 を 持つ という 結果 （ 正規 化 定理 ） は 、 自然 演繹 の 無 矛盾 性 や 論理 和 分離 特性 の 証明 に 利用 できる 。

なお 、 古典 論理 の 証明 から 直観 論理 の 証明 へ の 変換 （ グリベンコ の 定理 ） に 用い られる 二 重 否定 変換 は 、 制御 演算 子 を 持つ ラムダ 項 から 純粋 な ラムダ 項 へ の CPS 変換 に 対応 する 。

ゲーデル の 完全 性 定理 を 含む 古典 モデル 理論 初期 の 定理 の 例 は 、 上方 および 下方 レーヴェンハイム - スコーレム の 定理 、 ヴォート の two - cardinal 定理 、 スコット の 同形 定理 、 タイプ 排除 定理 ( omitting types theorem ) 、 そして リル = ナルゼウスキ の 定理 が ある 。

モデル 理論 が 体 へ 応用 さ れ た 初期 の 結果 の 例 は 、 タルスキ の 実 閉体 について の 量 化 記号 消去 法 、 疑 有限 体 ( pseudo finite field ) 上 の Ax の 定理 、 そして ロビンソン の 超 準 解析 の 開発 が ある 。