古典 的 な ギリシャ 数学 で は 、 ユークリッド 平面 や （ 三 次元 ） ユークリッド 空間 は 所定 の 公準 によって 定義 さ れ 、 そこ から ほか の 性質 が 定理 として 演繹 さ れる もの で あっ た 。

ユークリッド 空間 の 位相 的 性質 について 、 「 En の 部分 集合 は 、 それ が ある 開 集合 に 同相 と なる もの なら ば それ 自身 が 開 集合 で ある 」 という ブラウウェル の 領域 の 不変 性 定理 が 知ら れ て いる 。

しかし 、 1988 年 森 重文 により 3 次元 多様 体 の 極小 モデル 存在 定理 が 証明 さ れ 、 以降 「 森 の プログラム 」 と 呼ば れる プログラム に 沿っ て 分類 が 強力 に 推し進め られ て いる 。

ベルンシュタイン の 定理 （ カントール ＝ ベルンシュタイン ＝ シュレーダー の 定理 、 シュレーダー ＝ ベルンシュタイン の 定理 、 カントール ＝ ベルンシュタイン の 定理 とも ） と は 、 集合 A から 集合 B に 単 射 が あり 、 集合 B から 集合 A へ も 単 射 が あれ ば 、 集合 A から 集合 B へ の 全 単 射 が ある という もの で ある 。

濃度 において は 、 これ は | A | ≤ | B | かつ | B | ≤ | A | なら ば | A | = | B | で ある 、 という こと を 言っ て いる わけ で 、 非常 に 基本 的 な 要請 が この 定理 によって 満たさ れる こと に なる 。

しかし 、 ツェルメロ による 整列 可能 定理 の 証明 に 反論 する 過程 で 、 ボレル 、 ベイル 、 ルベーグ 、 ラッセル など が 選択 公理 の 存在 に 気付き 、 新た な 公理 で ある こと が 認識 さ れる よう に なっ た 。

なお 、 バナッハ と タルスキ が 、 選択 公理 が 正しく ない こと を 示す ため 、 定理 を 証明 し た と 断定 する の は 早計 で ある 。

ZF に 決定 性 公理 を 付け加え た 公理系 の 整合 性 と 、 ZF に 選択 公理 と 巨大 基数 の 一 種 で ある ウッディン 基数 の 存在 を 公理 として 付け加え た 公理系 の 整合 性 が 同値 と なる という ウッディン の 定理 は 、 互いに 矛盾 する 公理 を 関係 づける 非常 に 重要 な もの で ある 。

クロネッカー の 名前 は 現在 でも 、 クロネッカー の デルタ 、 クロネッカー 積 、 クロネッカー ＝ ウェーバー の 定理 、 クロネッカー の 青春 の 夢 など に 見る こと が できる 。

従って 、 彼 に は ボルツァーノ ＝ ワイエルシュトラス の 定理 （ 有界 な 実 数列 は 収束 する 部分 列 を 持つ ） は 認め 難かっ た 。

1864 年 に は 、 相 反作用 の 定理 （: en : Betti ' s theorem 、 Maxwell - Betti reciprocal work theorem とも ） について の 論文 も 発表 し て いる 。

X が 完備 距離 空間 で あれ ば コーシー 列 は 収束 する ので 、 定理 1 の 「 条件 3 ⇒ 条件 2 」 は 定理 2 から 従う 。

コンパクト の 概念 と 点 列 コンパクト の 概念 は 有限 次元 ユークリッド 空間 における 定理 で ある ハイネ・ボレル の 被覆 定理 と ボルツァーノ・ワイエルシュトラス の 定理 から き て おり 、 実際 これら の 定理 は それぞれ 有限 次元 ユークリッド 空間 の 有界 閉 集合 が コンパクト 、 点 列 コンパクト で ある と 主張 し て いる 。

したがって コンパクト 性 の 概念 や 点 列 コンパクト 性 の 概念 は 、 こうした 既知 の 定理 の 結論 部分 を 位相 空間 や 距離 空間 の 言葉 で 抽象 的 に 定式 化 する 事 で 得 られ た もの で ある という 事 も できる 。

なお 定理 3 より 有限 次元 ユークリッド 空間 において は 有界 閉 集合 で ある 事 と 全 有界 かつ 完備 で ある 事 は 同値 な ので 、 ハイネ・ボレル の 被覆 定理 と ボルツァーノ・ワイエルシュトラス の 定理 は それぞれ 定理 1 における 「 3 番目 の 条件 ⇒ 1 番目 の 条件 」 、 「 3 番目 の 条件 ⇒ 2 番目 の 条件 」 の 部分 に 対応 し て いる 。

以上 の 事 を 見る 為 に コンパクト 性 を 使っ て 証明 する 定理 の 例 を 1 つ あげる 。

全て の 自然 数 が 高々 四つ の 平方 数 の 和 によって 表さ れる という 定理 は ラグランジュ の 四 平方 定理 と 呼ば れる （ 1770 年 ） 。

また 、 ウィルソン の 定理 （ の 逆 ?） を 証明 し た （ 1771 年 ?） の も 彼 で ある 。

弧 AB に対する 円周 角 は 点 P の 位置 に 依ら ず 一定 で あり 、 中心 角 AOB の 半分 に 等しい （ 円周 角 の 定理 ） 。

四角形 が 円 に 内接 する なら ば 、 四角形 の 対 角 の 和 は 平 角 に 等しい （ 内接 四角形 の 定理 ） 。