古典 モデル 理論 の 発展 において 、 安定 理論 の 誕生 が （ 非 可算 カテゴリー 論 [ uncountably categorical theory ] 上 の Morley の 範疇 性 定理 および シェラハ の 分類 プログラム を通して ） 重要 な ステップ と なっ た 。

ゲーデル の 完全 性 定理 は 、 ある 理論 が 無矛盾 で ある 、 すなわち その 理論 によって 矛盾 が 生じ ない 場合 だけ 、 その 理論 は モデル を 持つ こと 述べ て いる 。

モデル 理論 の 系譜 における 最初 の 顕著 な 成果 は レオポールト・レーヴェンハイム により 1915 年 に 発表 さ れ た 下方 レーヴェンハイム - スコーレム の 定理 の 特別 な 事例 で ある 。

コンパクト 性 定理 は 、 トアルフ・スコーレム による 仕事 において 萌芽 が 見 られる が 、 ゲーデル の 完全 性 定理 の 証明 中 の 補題 として 1930 年 に 初めて 発表 さ れ た 。

レーヴェンハイム - スコーレム の 定理 および コンパクト 性 定理 は 1936 年 および 1941 年 に Anatoly Maltsev によって 一般 的 な 形 で 形式 化 さ れ た 。

この ころ は 幾何 学 の 定理 という もの は 、 自然 科学 における 主題 同様 に 、 直観 と 理屈 を通して 知る こと の できる 絶対 的 で 実在 の 真実 として 扱わ れ て い た し 、 公理 という もの は 定義 の 言外 において 疑い よう の ない 事実 として 扱わ れ て い た 。

射影 幾何 の 公理 に は 、 距離 や 角度 といった もの は 述べ られ て い ない から 、 従って 射影 幾何 学 の 定理 に それら が 現れる こと も ない 。

ただし 、 「 幾何 学 」 が 経験 的 実在 と 対応 し ない として も 、 幾何 学 の 定理 は 「 数学 的 な 真実 」 で ある こと に 変わり は ない 。

非 ユークリッド 幾何 の ユークリッド 模型 は 、 ユークリッド 空間 に 存在 する 適当 な 対象 と それら の 間 の 関係 で 、 非 ユークリッド 幾何 の 公理 を 全て （ 従って 定理 も 全て ） 満たす よう な もの を 巧み に 選び出し た もの で ある 。

この ころ 解析 幾何 学 は 大いに 発展 し て 、 古典 幾何 学 の 定理 を 変換 群 に関する 不 変量 を 通じ た 計算 に 置き換える こと に 成功 し て おり 、 実際 に 古典 幾何 学 の 新た な 定理 が 職業 数学 者 より も むしろ アマチュア の 手 によって 発見 さ れ て いる 。

ノルム 空間 において 、 中 線 定理 ‖ x − y ‖ 2 + ‖ x + y ‖ 2 = 2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 は 一般 に は 成立 し ない 。

任意 の 内積 空間 は ノルム 空間 で ある が 、 逆 に ノルム 空間 が 内積 空間 で ある ため の 必要 十 分 条件 は 、 中 線 定理 が 成立 する こと 、 あるいは 同じ こと だ が その 単位 球体 が 楕円 体 と なる こと で ある 。

一般 に は 、 リンデレフ 性 と （ パラコンパクト 性 など の ） 他 の コンパクト 性 条件 と の 間 に は （ どちら 向き に も ） 包含 関係 は 成立 し ない が 、 森田 の 定理 により 任意 の 正則 リンデレフ 空間 は パラコンパクト で ある 。

各 線分 の 長 さ は 、 ユークリッド 空間 における ピタゴラス の 定理 など から 直接 に 求まる から 、 近似 折線 の 総 延長 は それら の 線分 の 長 さ の 総和 として 決定 する こと が できる 。

数学 における 「 理論 」 という 術語 は 、 定義 、 公理 、 定理 、 例 といった よう な もの の 首尾 一貫 し た 組織 的 な 集まり を 表す の に （ 必ずしも 厳密 に そう 定義 さ れ て いる わけ で は ない が ） 用い られる （ 用例 として は 、 群論 、 ガロワ 理論 、 制御 理論 、 K - 理論 など が 挙げ られる ） 。

に も かかわら ず 、 数学 史 において 「 個別 の 定理 の 集まり と 看做さ れ て い た もの が 、 一つ の 統一 的 な 結果 の 特別 の 場合 で ある こと が わかっ た 」 とか 「 数学 の ある 領域 で の 発展 が 、 その 主題 の ほか の 複数 の 分野 に 忠実 に 応用 さ れる とき 、 どの よう に 進展 する か という こと について の 一つ の 大局 観 」 とか いっ た 逸話 が いくつ も 知ら れ て いる 。

デカルト や フェルマー 等 の 数学 者 の 手 によって 、 特別 な 種類 の 曲線 や 曲面 について の 多く の 定理 が 、 （ 当時 は 新しかっ た ） 代数 的 な 言葉 で 記述 する こと が でき て 、 その どれ も 同じ 手法 を 用い て 証明 する こと が できる という こと が 示さ れ た 。

つまり 、 それら の 定理 は 幾何 学 的 解釈 は 異なる として も 代数 学的 に は 非常 に 似通っ て いる の で ある 。

対象 と する 定理 の 主 な 興味 が その 特殊 化 し た もの に あっ た 場合 で さえ 、 この よう な 話 の 展開 の 仕方 が 貫か れる 。

ここ で の 試金石 的 な 結果 は ヒルベルト の 零 点 定理 で 、 これ は 大まか に 言え ば 先 ほど の 二 種類 の 対象 の 間 の 自然 な 一対一 対応 の 存在 を 示す もの で ある 。