また これから 、 ヘン ストック ＝ クルツヴァイル 積分 が 単調 収束 定理 の 適当 な （ 函数 が 非負 で ある こと を 課さ ない ） 変形 版 を 満たす こと や 、 優 収斂 定理 の 適当 な 変形 版 （ 函 数列 fn に対する 支配 条件 を 弱め て 、 適当 な 可 積分 函数 g , h で g ≤ fn ≤ h と できる と し た もの ） を 持たす こと が 導か れる 。

古典 的 な ルベーグ 積分 論 における 重要 な 定理 （ 例えば ルベーグ の 優 収斂 定理 、 リース ＝ フィッシャー の 定理 、 ファトゥー の 補題 、 フビニ の 定理 など ） は この 構成 を 用い て も やはり 証明 する こと が 可能 で ある 。

ミクシンスキー は また 、 ボホナー 積分 に対する 多重 積分 の 変数 変換 定理 と ボホナー 積分 に対する フビニ の 定理 と を ダニエル 積分 法 を 用い て 証明 し た 。

{ harv | Asplund and Bungart } で は 、 実 数値 函数 に対して この 方法 による 明快 な 取り扱い が なさ れ て おり 、 また ダニエル ＝ ミクシンスキー の 方法 を 用い た 抽象 的 ラドン ＝ ニコディム の 定理 の 証明 が 提示 さ れ て いる 。

有限 次元 ヒルベルト 空間 において も 、 同様 の こと が 成り立ち 、 リース の 表現 定理 と 呼ば れる 。

逆 に 、 リース の 表現 定理 によって 、 K ( X ) 上 の 各 正 値 線型 形式 から ラドン 測度 に関する 積分 が 生じる から 、 従っ て それ は K ( X ) 上 の 連続 正 値 線型 形式 で ある 。

フェルミオン・ダブリング が 生じる 条件 を 表す の が 、 1981 年 に ホルガー・ベック・ニールセン と 二宮 正夫 によって 証明 さ れ た ニールセン ＝ 二宮 の 定理 ( Nielsen – Ninomiya theorem ) で ある 。

この 定理 に よる と 、 格子 フェルミオン の 作用 が 以下 の 全て の 仮定 を 満たす とき 、 フェルミオン・ダブリング が 必ず 生じる 。

ウィルソン ・ フェルミオン によって フェルミオン・ダブリング は 回避 できる が 、 これ は ニールセン ＝ 二宮 の 定理 の 仮定 の ひとつ で ある カイラル 対称 性 を 破っ て いる ため で ある 。

ラドン ＝ ニコディム 性 を 持つ 空間 に は 、 可分 な 双対 空間 （ ダン フォード ＝ ペティス の 定理 ） や 回帰 的 バナッハ 空間 （ 特に ヒルベルト 空間 ） など が ある 。

これ により 、 その 記号 の 意味 論 的 解釈 と は 無関係 に 、 提示 さ れ た 規則 のみ を 用い て 創意 工夫 に 頼る 必要 なく 、 残る 定理 は 形式 的 に 導出 さ れる べき で ある （ この ため 数学 は 科学 と いう より も 記号 ゲーム に 見える ） 。

これら の 公理 および 規則 から 数学 の 全て の 定理 が 演繹 さ れ 得る こと を 証明 する こと が 望ま れ て い た 。

その 目的 自体 は 不可能 で ある こと が クルト ・ ゲーデル の 不完全性 定理 より 1931 年 に 証明 さ れ た 。

最も 単純 な 存在 定理 は 「 f が 連続 で g が [ a , b ] 上 有界 変動 で ある とき リーマン ＝ スティルチェス 積分 ∫{ su | b = a | p = b } f & thinsp ; dg が 存在 する 」 という もの で ある 。

リーマン ＝ スティルチェス 積分 は リース の 表現 定理 の 元々 の 定式 化 「 区間 [ a , b ] 上 の 連続 函数 全体 の 成す バナッハ 空間 C [ a , b ] の 双対 空間 の 元 は 必ず 何らかの 有界 変動 函数 に対する リーマン ＝ スティルチェス 積分 として 表さ れる 」 に 用い られ て い た 。

後 に 表現 定理 は 測度 を 用い て 再 定式 化 さ れる 。

この 定理 における リーマン ＝ スティルチェス 積分 は 、 射影 の スペクトル 族 に関する もの として 考え られる 。

それ は 、 Löb の 定理 の 様相 バージョン を 論理 K ( または K 4 ) に 加える こと で 得 られる 。

以後 は パリ の 聖 セルギイ 正教 神学 院 で 定理 神学 （ 教義 神学 ） の 教授 を 務め 、 正教 の 長 司祭 として 活動 する 。

定理 の 名 は ドイツ の 数学 者 C . ノイ マン に 由来 する 。