モディリアーニ ＝ ミラー の 定理 （ Modigliani - Miller theorem ） 、 資本 構造 の 無効 性 原理 （ capital structure irrelevance principle ） と も 呼ば れる 。

完全 市場 を 仮定 （ 効率 的 市場 仮説 ） すれ ば 、 企業 の 資本 構成 および 配当 政策 は 企業 価値 に 影響 を 与え ない という 定理 で あり 、 また MM 理論 は 完全 市場 （ 効率 的 市場 仮説 ： EMH ） を 前提 と する 理論 で ある こと から 、 完全 市場 で ない 現実 の 市場 において は 、 資本 構成 や 配当 政策 は 企業 価値 に 影響 を 与える と さ れる 。

言い換えれ ば 、 資金 調達 の 方法 に 関わり なく 企業 の 限界 資本 コスト は 平均 資本 コスト に 等しく 、 また 平均 資本 コスト は 、 その 企業 の 属する クラス における 自己 資本 のみ から なる 企業 の 純 営業 利益 の 流 列 （ unlevered stream ） に対する 資本 化 率 に 等しい 。 」 MM 理論 （ モジリアーニ ＝ ミラー の 定理 ） が 資本 市場 に 影響 を 与え た 正確 な 範囲 を 決定 する こと は 困難 だ が 、 引数 が レバレッジ の 利用 を 促進 あるいは 拡大 する ため に 使用 さ れ て いる 。

リーマン 多様 体 の 考え方 は 1828 年 に カール ・ フリードリヒ・ガウス が 証明 し た 『 驚異 の 定理 ( Theorema Egregium )』 まで さかのぼる 。

この 定理 は 曲面 の 曲 率 ( 厳密 に は ガウス 曲 率 ) が 、 曲面 が 三 次元 空間 に どの よう に 埋め込ま れる か に 依存 せ ず 、 単に 角度 や 長 さ を 定める 計量 テンソル に のみ 依存 する という もの で ある ( 英 : Theorema Egregium )。

ガウス の 弟子 で あっ た リーマン は ガウス の 定理 を 多様 体 と 呼ば れる 高次 元 空間 に 拡張 し た 。

実際 、 ナッシュ の 埋め込み 定理 に 従え ば 、 全て の リーマン 多様 体 は 、 この よう に Rn 上 の 内積 を 何らかの 方法 で 多様 体 上 に 写す こと で 実 さ れる 。

リーマン 多様 体 において 、 測地 的 な コンパクト 性 や トポロジー の コンパクト 性 、 距離 の コンパクト 性 という の は 同義 で あり 、 Hopf - Rinow の 定理 を 示唆 する もの で ある 。

その 定理 は 「 Wille zum Leben 」 、 つまり 「 生 へ の 意志 」 と いい 、 有機 体 の 自己 保存 の 本能 に 具体 的 に 現れ て いる よう な 現象 を 表す 。

しかしながら 、 選択 公理 を 仮定 し ない 場合 は 、 この 和 と 積 は 基数 として 定義 でき ない ので 、 その 場合 に この 定理 を 考慮 する に は この 不等式 の 意味 は 明らか に さ れる 必要 が ある 。

ここ で の ケーニヒ の 定理 は 選択 公理 と 同値 で ある 。

「 弱 コンパクト 」 という 名前 は 、 ある 基数 が 弱 コンパクト なら ある 関連 する 無限 言語 が コンパクト 性 定理 の 一種 を 満たす という 事実 を 反映 し て いる （ 後述 ） 。

言語 L κ , κ が 弱 コンパクト 性 定理 を 満たす と は 、 Σ が 高々 濃度 κ の 文 の 集合 で あり 、 その 濃度 κ 未満 の 部分 集合 が 全て モデル を 持つ なら ば 、 Σ も モデル を 持つ こと を 言う 。

グラフ 理論 における ケーニヒ の 補題 は デネス・ケーニヒ ( 1936 ) によって 示さ れ た 定理 で 、 無限 グラフ が 無限 長 の 道 を もつ ため の 十分 条件 を 与える 。

この 定理 の computability aspects は 数理 論理 学 の 計算 可能 性 理論 の 研究 者 によって 調べ られ て き て いる 。

この 定理 は 構成 的 数学 や 証明 論 において も 重要 な 役割 を もつ 。

木 に対して 制限 し た バージョン が この 定理 の 特殊 な 例 として よく 知ら れ て いる 。

これ は ゲーデル の 第 2 不完全性 定理 から わかる 。

Gunderson は その 博士 論文 の 中 で 、 上 の 定理 の 証明 の 問題 点 を 挙げ た 。

鈴木 治郎 は 上 の 定理 の 31 を 113 まで 拡張 し た 論文 を 提出 し た 。