一般 に は 、 マイヤー・ヴィートリス 完全 系列 で 空間 の （ コ ） ホモロジー 群 が 完全 に 計算 できる よう に なる わけ で は ない の だ けれども 、 しかし 位相 幾何 学 に 現れる 重要 な 空間 の 多く は 、 位相 多様 体 や 単体 的 複 体 あるいは CW 複 体 の よう な 、 非常 に 簡単 な 素 片 の 貼 合せ として 構成 さ れる もの に なっ て いる ので 、 マイヤー と ヴィートリス が 示し た よう な 定理 は 潜在 的 に 広く 深い 応用 の 可能 性 を 持っ て いる という こと が できる 。

以下 の 定理 が 成り立つ 。

これ は クッタ・ジュコーフスキー の 定理 と 呼ば れる 。

有限 域 は 自動的 に 有限 体 に なる （ ウェダーバーン の 小 定理 ） 。

この 定理 を 利用 する に は 、 次数 環 gr & thinsp ; R を 調べる 必要 が ある 。

また 、 ユークリッド 環 の 任意 の イデアル は 主 イデアル （ つまり 、 単項 生成 ） で あり 、 したがって 算術 の 基本 定理 の 適当 な 一般 化 が 成立 する 。

この こと は 、 作用素 x · ∇ と 偏 微分 と の 交換 性 により 、 先 の オイラー の 定理 から 得 られる 。

数学 の 特に 算術 において 、 自然 数 や 整数 に対する 通常 の 剰余 付き 除法 （ じ ょうよつきじょほう 、 division with remainder ; 余り の ある 割り算 ） は 、 ユークリッド 除法 （ ユークリッド じ ょほう 、 Euclidean division ） または 整除 法 （ せい じ ょほう 、 entire division ） と も 呼ば れ 、 「 被除数 と 除数 と 呼ば れる 二つ の 自然 数 に対して 、 商 と 剰余 と 呼ば れる 二つ の 自然 数 が 、 与え られ た 性質 を 満たし て 一意的 に 存在 する 」 こと を 主張 する 定理 として 明確 に 規定 する こと が できる 。

この よう な 定理 を 「 除法 の 原理 」 （ じ ょほうのげんり 、 division algorithm ; 除法 の 算法 ） と いう 。

整数 に対する 除法 の 原理 は 、 初等 算術 における 定理 の 基盤 で あり 、 二 整数 の 最大公約数 を 求める ユークリッド の 互除 法 の よう な 他 の 算法 や 整数 の 間 の ある 種 の 合同 関係 を 定める 合同 算術 など に対する 重要 な 要件 に なっ て いる 。

その よう な スペクトル 定理 は 、 より 一般 の 正規 作用素 の 場合 へ と 拡張 さ れ 、 上 の 等式 は 任意 の 有界 正規 作用素 A に対して も 同様 に 成立 する 。

擬環 の イデアル に対して それ を 含む 極大 イデアル が 必ずしも 存在 し ない など 、 単位 的 環 論 の 定理 は 少なから ず 擬環 に対して 成立 し ない もの が ある ので 、 単位 的 環 の 場合 と 比べ て 擬環 の イデアル 論 は より 複雑 で ある 。

これ は 多項式 に関する メーソン・ストーサーズ の 定理 の 整数 における 類似 で あり 、 互いに 素 で あり かつ a + b = c を 満たす よう な 3 つ の 自然 数 （ この 予想 に 呼び 方 を 合わせる と ） a , b , c について 述べ て いる 。

数 論 における 数多 の 有名 な 予想 や 定理 が abc 予想 から 直ちに 導か れる 。

「 Hierarchy theorems in automata theory ( オートマトン 理論 における 階層 定理 )」 1987 年 九州大学理学部附属基礎情報研究施設助教授 、 1993 年 同 研究 施設 教授 を 経 て 、 1996 年 より 東京大学 医科 学 研究所 ヒト ゲノム 解析 センター 教授 、 東京大学 大学院 情報 理工 学 系 研究 科 教授 。

数学 者 の 秋山 仁 が タイム トラベル を し 、 数学 史上 に 残る 偉大 な 数学 者 たち と 対話 する という 演出 の 下 、 数学 の 定理 など を 解説 し て い た 。

特に 、 初期 値 問題 の 解 の { 仮 リンク | 一意 性 | en | Uniqueness quantification } を 証明 する 際 に よく 用い られる （ 例えば { 仮 リンク | ピカール・リンデレフ の 定理 | en | Picard – Lindelöf theorem } を 参照 さ れ たい ） 。

が 得 られ 、 したがって 関数 { mvar | α } の 積分 可能 性 により 、 ルベーグ の 優 収束 定理 を 用いる こと で 求める 不等式 が 得 られる 。

例えば 、 { 仮 リンク | ホイットニー の 埋め込み 定理 | en | Whitney embedding theorem } により 、 すべて の n - 次元 微分 可能 多様 体 は R 2 n の 中 へ 微分 可能 部分 多様 体 として 埋め込ま れる が 、 複素 多様 体 が Cn の 中 へ 正則 に 埋め込ま れる よう な こと は 『 まれ 』 で ある 。

例えば 、 コンパクト な 連結 多様 体 M を 考え て みる と 、 M 上 の 任意 の 正則 函数 は 、 リウヴィル の 定理 により { 仮 リンク | 局所 定数 | en | locally constant } と なる 。