1927 年 に は ケンブリッジ大学 の 数学 講師 と なり 、 1935 年 の ゲーデル の 定理 について の 講義 が アラン ・ チューリング に 着想 を 与え 、 仮説 的 な 計算 機械 （ チューリングマシン ） を 使っ て 「 決定 問題 」 を 考える という 先駆 的 業績 へ と つながっ た 。

ピカール・リンデレフ の 定理 の 古い 証明 で は 、 上述 の よう な 積分 方程式 に 収束 する 関数 列 を 構築 する こと により 、 その 極限 として の 初期 値 問題 の 解 を 求め て いる 。

しかし 、 ペアノ の 存在 定理 は 、 関数 f が 単なる 連続 関数 で あっ て も 、 解 の 時間 に関する 局所 存在 性 が 保証 さ れる こと を 示し て いる 。

より 一般 的 な 結果 として 、 関数 f が 不連続 で ある 場合 の 解 の 存在 を 扱っ た カラテオドリ の 存在 定理 が 挙げ られる 。

数学 の 、 特に 常 微分 方程式 の 研究 分野 における ペアノ の 存在 定理 （ ぺあののそんざいていり 、 Peano existence theorem ） あるいは コーシー・ペアノ の 定理 と は 、 ジュゼッペ・ペアノ と オーギュスタン ＝ ルイ ・ コーシー の 名 に ちなむ 、 特定 の 初期 値 問題 の 解 の 存在 を 保証 する ある 基本 定理 の こと を 言う 。

ペアノ は 1886 年 に 初めて この 定理 を 発表 し た が 、 その 際 の 証明 に は 間違い が あっ た 。

1890 年 、 彼 は 逐次 近似 法 を 用いる こと で 、 この 定理 に 改めて 正しい 証明 を 与え た 。

連続 性 より も 弱い 条件 の もと で の 、 ペアノ の 存在 定理 の 一般 化 として 、 カラテオドリ の 存在 定理 が 知ら れ て いる 。

数学 の 一 分野 で ある 測度 論 における ハムサンドイッチ の 定理 （ は むさ ん ど いっち の て いり 、 Ham sandwich theorem ） 、 または ストーン・テューキー の 定理 （ 数学 者 の { 仮 リンク | アーサー ・ H ・ ストーン | en | Arthur Harold Stone } と ジョン ・ テューキー の 名 に ちなむ ） と は 、 n 次元 空間 内 に 与え られ た n 個 の 可 測 な 「 物体 」 に対して 、 それぞれ の 量 を 一 度 に 等分 する こと が 出来る よう な { math |( n − 1 )} 次元 超 平面 が 存在 する こと について 述べ た 定理 で ある 。

ハムサンドイッチ の 定理 は 、 { math | 1 = n = 3 } で ある 場合 、 三つ の 「 物体 」 として ハム と それ を 挟む 二 枚 の パン （ すなわち 、 サンドイッチ ） を 考える こと で 、 一 回 の ナイフ カット （ 数学 的 に 言う と 平面 ） で それら すべて の 量 を それぞれ 半分 に 出来る よう な 切り 方 が 必ず 存在 する 、 と 言い換える こと が 出来る 。

二 次元 （ { math | 1 = n = 2 } ） の 場合 、 この 定理 は パンケーキ の 定理 として 知ら れ 、 皿 の 上 に 載せ られ た 二 枚 の 限り なく 薄い パンケーキ を 、 一 回 の ナイフ カット （ 数学 的 に 言う と 直線 ） で それら すべて の 量 を それぞれ 半分 に 出来る よう な 切り 方 が 必ず 存在 する 、 と 言い換え られる 。

この 場合 の 定理 は 「 与え られ た ハムチーズサンドイッチ に対し 、 その ハム 、 チーズ 、 パン の 量 が それぞれ 半分 と なる よう な サンドイッチ の 切り 方 が 必ず 存在 する 」 と 言い換え られる 。

ハムサンドイッチ の 定理 は 、 サンドイッチ の 定理 （ はさみ うち の 原理 ） と は 無関係 で ある 。

ハムサンドイッチ の 定理 について まとめ た 最新 の 論文 で ある { harvtxt | Beyer | Zardecki | 2004 } に よれ ば 、 平面 上 の 三つ の 物体 を 等分 する { math | 1 = n = 3 } の ケース を 考え た 初めて の 研究 は { harvtxt | Steinhaus | 1938 } で ある と さ れ て いる 。

問題 の 提示 は { 仮 リンク | ステ インハウス | en | Hugo Steinhaus } により なさ れ 、 その 解決 は ステファン ・ バナフ により なさ れ た （ 証明 に は { 仮 リンク | ボルサック・ウラム の 定理 | en | Borsuk – Ulam theorem } が 用い られ た ） 。

より 近代 的 な 参考 文献 として 、 ストーン ・ テューキー の 定理 と も 呼ば れる きっかけ と なっ た 、 { harvtxt | Stone | Tukey | 1942 } が 挙げ られる 。

この 論文 で は 、 測度 を 含む より 一般 的 な 設定 の 下 で の 、 定理 の n 次元 版 の 証明 が 行わ れ た 。

ある 査読 者 から の 情報 に よる と 、 { math | 1 = n = 3 } の 場合 の 証明 は スタニスワフ・ウラム による もの と さ れ て いる が 、 { harvtxt | Beyer | Zardecki | 2004 } で は これ は 間違い で ある と 主張 さ れ て いる （ ボルサック・ウラム の 定理 によって 「 ウラム は 確か に 問題 解決 へ の 根本 的 な 貢献 を 与え た 」 と は 注意 さ れ て いる ） 。

したがって 、 { 仮 リンク | ボルサック・ウラム の 定理 | en | Borsuk – Ulam theorem } により 、 { math | 1 = f ( p ) = f ( q )} で ある よう な 球面 S 上 の 対蹠 点 p と q が 存在 する 。

この 定理 は 、 { math | 1 = f 0 ( x ) = 1 } と し 、 また 各 { math | i > 0 } に対して { math | fi ( x )} を x の i 番目 の 座標 と する こと によって 、 標準 的 な ハムサンドイッチ の 定理 を 一般 化 する もの で ある 。