数学 の 測度 論 における カラテオドリ の 拡張 定理 （ カラテオドリ の かく ちょう て いり 、 Carathéodory ' s extension theorem ） は 「 与え られ た 集合 Ω の 部分 集合 から なる 集合 環 R 上 定義 さ れる 任意 の { 仮 リンク | σ 有限 測度 | label = σ - 有限 測度 | en | σ - finite measure } は 、 R により 生成 さ れる σ - 代数 上 の 測度 へ と 一意 に 拡張 出来る 」 という こと を 述べ た 定理 で ある 。

この 定理 の 帰結 として 、 実数 から なる 区間 すべて を 含む 空間 上 で 定義 さ れ た 任意 の 測度 は 、 実数 全体 の 成す 集合 R 上 の ボレル 集合 族 上 の 測度 へ と 拡張 する こと が できる 。

集合 半 環 S 上 の 前 測度 （ 例えば 、 スティルチェス 測度 ） は 、 R ( S ) 上 の 前 測度 へ と 拡張 する こと が できる が 、 最終 的 に は カラテオドリ の 拡張 定理 を 用いる こと により 、 σ - 代数 上 の 測度 へ と 拡張 する こと が できる 。

実際 に は 、 カラテオドリ の 拡張 定理 は 、 環 を 半 環 に 置き換える こと により 、 わずか に 一般 化 する こと が できる 。

例えば 、 ストーン ＝ ワイエルシュトラス の 定理 の 主張 を 「 区間 [ a , b ] 上 の すべて の 連続 関数 から なる 集合 は 、 [ a , b ] 上 の 多項式 すべて から なる 集合 の 一様 閉包 で ある 」 という 形 に 述べる こと が できる 。

ライス の 定理 における コンビネータ 論理 の 例 ( 原文 ： The combinatory logic analogue ) が 言う の は 、 完全 で 非 自明 な 述語 は 存在 し ない という 事 で ある 。

ライス の 定理 の 例 は 、 全て の 完全 な 述語 は 自明 で ある と 述べ て いる 。

この 定理 の 証明 は かなり 単純 で ある 。

不動点 定理 により 、 ABSURDUM ≡ ( Y NEGATION ) = ( NEGATION ( Y NEGATION )) ≡ ( NEGATION ABSURDUM ) を 満たす ABSURDUM = ( NEGATION ABSURDUM ) が 与え られる 。

この 論証 不明 の 定理 から すぐ に 、 正規 形 を もつ 条件 を 満たす か どう か を 決定 する こと が できる 完全 な 述語 は 存在 し ない こと が 導か れる 。

実は 、 核 函数 が 超 関数 と なる こと を も 許せ ば 、 すべて の 線形 作用素 は 積分 変換 に なる （ この こと を きちんと 定式 化 し た もの が { 仮 リンク | シュワルツ の 核 定理 | en | Schwartz kernel theorem } で ある ） 。

数学 の 分野 における 閉 グラフ 定理 （ へい グラフ て いり 、 closed graph theorem ） と は 、 バナッハ 空間 の 間 の 連続 線形 作用素 を 作用素 の グラフ に関して 特徴付ける よう な 、 関数 解析 学 における 基本 的 な 結果 の 一つ で ある 。

閉 グラフ 定理 の 一般 的 な 証明 に は 開 写像 定理 が 用い られる 。

実際 、 閉 グラフ 定理 、 開 写像 定理 および { 仮 リンク | 有界 逆 定理 | en | bounded inverse theorem } は すべて 同値 で ある 。

閉 グラフ 定理 は 次 の よう に 書き換える こと も 出来る 。

もし T : X → Y が バナッハ 空間 の 間 の 線形 作用素 なら 、 次 の 二つ は 同値 で ある : 閉 グラフ 定理 は 、 次 の よう に し て 、 より 抽象 的 な 位相 ベクトル 空間 へ と 一般 化 出来る 。

-- 220 . 209 . 4 . 47 2012 年 7 月 17 日 ( 火 ) 13 : 00 ( UTC ) 関数 解析 学 における 開 写像 定理 （ かいし ゃぞうていり 、 Open mapping theorem ） あるいは バナッハ・シャウダー の 定理 （ ステファン ・ バナッハ と { 仮 リンク | ユリウス・シャウダー | en | Juliusz Schauder } の 名 に ちなむ ） と は 、 バナッハ 空間 の 間 の 連続 線形 作用素 が 全 射 で ある なら ば { 仮 リンク | 開 写像 | en | open map } で ある という こと について 述べ た 、 同 分野 の 基本 的 な 結果 の 一つ で ある 。

より 正確 に 言う と { harv | Rudin | 1973 | loc = Theorem 2 . 11 }: 証明 に は ベール の 範疇 定理 が 用い られる 。

また X と Y が 完備 で ある こと は 、 定理 の 成立 において 本質 的 な 条件 で ある 。

X   あるいは Y   の 局所 凸 性 は 証明 において 本質 的 で は なく 、 完備 性 が 本質 で ある : この 定理 は X および Y が F - 空間 で ある 場合 に も 同様 に 成り立つ 。