さらに 、 この 定理 は ベール の カテゴリー 定理 とも 、 次 の よう な 形 で 組み合わさ れる { harv | Rudin | loc = Theorem 2 . 11 }: なる 形 の A の 標準 的 な 分解 が 存在 する 。

数学 における ベール の 範疇 定理 （ はん ち ゅうていり 、 Baire category theorem ） は 位相 空間 論 および 関数 解析 学 で 重要 な 道具 で 、 ルネ ＝ ルイ ・ ベール が 1899 年 の 博士 学位 論文 において 証明 し た 。

この 定理 に は 二つ の 形 が あり 、 何れ も 位相 空間 が ベール 空間 で ある ため の 十分 条件 を 与える もの に なっ て いる 。

これ は 、 シュレーダー の 『 講義 集 』 ( 独 : Vorlesungen 、 1890 年 – 1905 年 ) の なか で parallel column に 定理 を 適用 する 際 に 便利 に 利用 さ れ た 。

これ は ゲーデル の 完全 性 定理 として 知ら れる 。

その後 、 彼 は 二つ の 重要 な 定理 を 証明 し て おり 、 ヒルベルト ・ プログラム は その 元々 の 形 で は 達成 不可能 で ある こと が それ によって 示さ れ た 。

二つ の うち の 一つ 目 は 、 アルゴリズム や コンピュータ ・ プログラム の よう な 効果 的 方法 によって その 定理 を 並べ 挙げる こと が できる よう な 無矛盾 な 公理系 で 自然 数 に関する 全て の 事実 を 与え られる よう な もの は ない という 定理 で ある 。

この 二つ の 結果 は ゲーデル の 不完全性 定理 、 あるいは 単に 「 ゲーデル の 定理 」 と 呼ば れる 。

また 、 ゲンツェン は 正規 化 定理 と カット 除去 定理 を 証明 し た が 、 これ は 論理 的 証明 を 正規 の 形式 に 還元 する の に 使わ れる もの で 直観 論理 及び 古典 論理 に 呈し て なさ れ た 。

構成 的 解析 学 および 計算 可能 性 解析 学 といった 分野 は 古典 数学 の 定理 の 有効 な 内容 を 研究 する ため に 発展 し た ; これら は 代わる 代わる 逆 数学 の 計画 を 引き起こし た 。

順序 解析 や 、 パリス － ハリントン の 定理 の よう な 算術 における 独立 し た 結果 の 研究 によって も 進展 が 起き た 。

この 概念 は 、 ベール の 範疇 定理 を 考える 上 で 重要 で ある 。

フレシェ 空間 の 位相 構造 は 、 バナッハ 空間 の と 比べ て ノルム が ない 分 だけ より 複雑 な もの で は ある けれども 、 ハーン・バナッハ の 定理 や 開 写像 定理 、 バナッハ・シュタインハウス の 定理 など の 関数 解析 学 における 重要 な 結果 の 多く が 、 フレシェ 空間 において も やはり 成り立つ 。

ベール の 範疇 定理 に 基づく 関数 解析 学 の 重要 な 主張 の いくら か は フレシェ 空間 において も 成立 する 。

例えば 、 閉 グラフ 定理 、 開 写像 定理 など 。

逆 写像 定理 は フレシェ 空間 において は 成り立た ない （ 部分 的 に は ナッシュ・モーザー の 定理 で 置き換え られる ） 。

ベール の 範疇 定理 は 位相 空間 が ベール 空間 で ある ため の 十分 条件 を 与える もの で ある 。

この 問題 へ の 解答 が 、 ゲーデル の 不完全性 定理 、 チューリング の 機械 、 チャーチ の ラムダ 計算 で ある { Sfn | Berlinski | 2000 }。

この プログラム は ラッセル と ホワイト ヘッド の 『 プリンキピア・マテマティカ 』 の 最初 の 方 に ある 52 の 定理 の うち 38 の 定理 を 証明 し て みせ 、 そのうち 一部 は 新た な 洗練 さ れ た 証明 方法 を 見出し た 。

コンピュータ は 代数 問題 を とい て みせ 、 幾何 学 の 定理 を 証明 し て みせ 、 英会話 を 学習 し て みせ た 。