また 、 これら の 逆 も 成立 する （ 四 点 共 円 定理 、 内接 四角形 の 定理 ） 。

円 の 接線 と その 接点 を 通る 弦 が 作る 角 は 、 その 角 の 中 に ある 弧 に対する 円周 角 に 等しい （ 接 弦 定理 ） 。

接 弦 定理 は 逆 も 成立 する 。

三角形 の それぞれ の 頂点 から 下ろし た 垂線 の 足 から 他 の 二 辺 に 下ろし た 、 合計 6 個 の 垂線 の 足 は 、 同 一 円周 上 に ある 、 という 定理 。

イオン化 エネルギー は クープマンズ の 定理 によって 軌道 エネルギー と 近似 的 に 関連づけ られる て いる 。

この 計画 は 、 1930 年 に クルト ・ ゲーデル が 発表 し た 不完全性 定理 により 深刻 な 影響 を 受け た 。

とりわけ 「 自然 数 論 を 含む 帰納的 に 記述 できる 公理系 が 、 無矛盾 で あれ ば 自身 の 無 矛盾 性 を 証明 でき ない （ 第 2 不完全性 定理 ） 」 は 、 有限 な 立場 のみ で は あらゆる 公理系 の 無 矛盾 性 を 証明 でき ない と する もの で 、 ヒルベルト ・ プログラム で は 自然 数 論 だけ で なく 、 実数 論 、 さらに は 集合 論 全体 の 無 矛盾 性 を も 、 自然 数 論 の よう な 基本 的 な 体系 の 上 で 示す こと を 目的 と し て い た ため 、 この 定理 によって 大きな 修正 を 迫ら れる こと に なっ た 。

自然 数 論 の 無 矛盾 性 について は 、 1934 年 に ゲルハルト・ゲンツェン によって 、 証明 の 正規 化 （ カット 除去 定理 ） を 用いる こと によって 示さ れ た と さ れ た 。

また 、 ワイエルシュトラス による 実数 体 の 任意 の 有界 な 部分 集合 は 上限 を 持つ という 定理 が 証明 でき ない 。

例 として 、 （ 「 公理 」 と 呼ば れる 文字 列 と 、 与え られ た 公理 から 新しい 文字 列 を 生成 する 「 推論 規則 」 から なる もの として 見 られる ） ユークリッド 幾何 学 の 「 ゲーム 」 で は 、 ピタゴラス の 定理 が 有効 で ある こと を 証明 できる （ それ は 、 あなた が 、 ピタゴラス の 定理 に 対応 する 文字 列 を 生成 できる こと で ある ） 。

演繹 主義 で は 、 ピタゴラス の 定理 は 絶対 的 真実 で は なく 、 相対 的 な もの だ が 、 もし あなた が ゲーム の ルール が 真実 と なる といった 方法 で 文字 列 を 考え て いる なら ば （ いいかえれ ば 、 真 の 命題 は 公理 に 割り当て られ 、 推論 と 真実 の 保存 の ルール に 割り当て られる ） 、 その とき あなた は 、 その 理論 を 受け入れ なけれ ば なら ない 。

彼ら の 仕事 を 受け て ヒルベルト は 形式 主義 、 ブラウワー は 直観 主義 で 以 って パラドックス 解消 と 数学 の 基礎 付け を 目指す も 、 1931 年 の ゲーデル による 不完全性 定理 の 証明 により その 不可能 性 が 指摘 さ れ た 。

ヒルベルト は 、 1900 年 に パリ で 行わ れ た 国際 数 学者 会議 において 、 ヒルベルト の 23 の 問題 と 呼ば れる 23 個 の 問題 を 提出 し た が 、 その うち の 7 番目 の 問題 「 a が 0 でも 1 で も ない 代数 的 数 で 、 b が 代数 的 無理 数 で ある とき 、 ab は 超越 数 で ある か 」 は 、 1934 - 1935 年 に ゲル フォント と シュナイダー によって 肯定 的 に 解決 さ れ た （ ゲル フォント ＝ シュナイダー の 定理 ） 。

「 ピタゴラス の 定理 」 という 名称 は この 結果 を 幾何 学 的 に 解釈 し た もの が { 仮 リンク | 綜合 幾何 学 | en | synthetic geometry } における 同名 の 定理 の 類似 対応 物 に なっ て いる こと に よる 。

無論 、 綜合 幾何 学 における ピタゴラス の 定理 の 証明 は 、 基礎 に 置か れ た 構造 が 乏しい ため に 、 より 複雑 な もの と なる こと に 注意 す べき で ある 。

その 意味 において 、 綜合 幾何 学 における ピタゴラス の 定理 は 、 いま 述べ た 内積 空間 における もの より も 深い 結果 で ある 。

これら 二つ の 定理 は 「 任意 の 内積 空間 が 正規 直交 基底 を 持ち 得る か 」 という 問い に 答える もの で 、 これ に は 否定 的 な 結論 が 下さ れる 。

スペクトル 定理 は 有限 次元 内積 空間 上 の 対称 作用素 、 ユニタリ 作用素 、 あるいは 一般 に 正規 作用素 に対する 標準 形 を 与える もの で ある 。

スペクトル 定理 の 一般 化 は ヒルベルト 空間 上 の 連続 正規 作用素 に対して も 成り立つ 。

ゲーデル の 不完全性 定理 は 再帰 理論 と 証明 論 の マイル ストーン で ある だけ で は なく 、 様相 論理 における { 仮 リンク | レープ の 定理 | en | Löb ' s theorem } を 導く 。