（ ゲーム に 勝つ 、 定理 を 証明 する など ） 何らかの 目標 を 達成 する ため 、 迷路 を 探索 する よう に それ に 向かっ て （ 実際 に 移動 し たり 、 推論 し たり し て ） 一 歩 一 歩 進み 、 袋小路 に 到達 し たら バック トラッキング する 。

最初 の 批判 者 の 1 人 John Lucas は 、 ゲーデル の 不完全性 定理 が 形式 体系 （ コンピュータ プログラム など ） で は 人間 が 真偽 を 判断 できる こと も 判断 でき ない 場合 が ある こと を 示し て いる と 主張 し た 。

その プログラム は 単純 な 定理 の 証明 に も 天文学 的 な ステップ 数 を 必要 と し た 。

反例 によって ある 定理 の 有用 性 が 脅かさ れ た 時 に 、 その 有用 性 を 主張 する 立場 の 者 が 、 その よう な 例 は 病的 で ある 、 と 述べる こと が しばしば ある 。

それ は 、 『 空間 R 3 に その 球面 S 2 を 位相 的 に 埋め込む こと は 、 「 行儀 の 悪い 」 挙動 が 生じる 可能 性 を 防ぐ ため の 追加 条件 が 課さ れ ない 限り 、 空間 を きれい に 分割 する 上 で の 失敗 を 招く かも 知れ ない 』 、 という 例 で ある （ { 仮 リンク | ジョルダン - シェーンフリース の 定理 | en | Jordan - Schönflies theorem } を 参照 さ れ たい ） 。

病的 な 事象 を 探す 研究 者 は 、 特に 解析 学 や 集合 論 の 分野 において は 、 広く 応用 可能 な 一般 的 な 定理 を 見つける こと より も 、 既存 の 定理 の 不完全 さ を 指摘 する こと に 興味 を 覚える よう な { 仮 リンク | 実験 主義 者 | en | experimentalist } で ある と 言う こと が 出来る かも 知れ ない 。

実際 、 ベール の カテゴリー 定理 により 、 連続 な 関数 は 一般 的 あるいは 生来 的 に は 、 至る 所 で 微分 不可能 な もの で ある という こと が 示さ れる 。

この よう な 状況 は 巡回 畳み込み 定理 の 文脈 において 現れる 。

スペクトル 定理 は 、 自己 共役 作用素 や 正規 作用素 へ と 適用 さ れる が 、 一般 的 に 、 稠密 に 定義 さ れ た 作用素 や 閉 作用素 へ は 適用 さ れ ない 。

これ は { 仮 リンク | ヘリンジャー - テープリッツ の 定理 | en | Hellinger – Toeplitz theorem } として 知ら れる 。

自己 共役 作用素 に対して は 、 有名 な スペクトル 定理 が 成り立つ 。

この 定理 と 1 パラメータ ユニタリ 群 に関する { 仮 リンク | ストーン の 定理 | en | Stone ' s theorem on one - parameter unitary groups } を 組み合わせる こと により 、 自己 共役 作用素 は 、 強 連続 1 パラメータ ユニタリ 群 の 無限 小 生成 素 で ある という こと が 示さ れる （ 自己 共役 作用素 を 参照 さ れ たい ） 。

これ は エウゲニオ・カラビ により 予想 さ れ 、 ヤウ ( S . T . Yau ) により 証明 さ れ た 定理 で ある （ カラビ 予想 を 参照 ） 。

エンリケス 曲面 と 超 楕円 曲面 は 、 第 一 チャーン 類 が 実 係数 コホモロジー 群 の 元 として は ゼロ に なる が 、 整 係数 コホモロジー 群 の 元 として は ゼロ に なら ず 、 リッチ 計量 の 存在 について の ヤウ の 定理 を 適用 する こと は できる ものの 、 カラビ・ヤウ 多様 体 と は 見なさ れ ない こと が 多い 。

数学 の 関数 解析 学 の 分野 における ヒレ - 吉田 の 定理 （ ヒレ - よし だ の て いり 、 Hille - Yoshida theorem ） と は 、 バナッハ 空間 上 の 線形 作用素 から なる 強 連続 一 パラメータ 半 群 の 生成 素 を 特徴 づける 定理 で ある 。

しばしば 特別 な 場合 として 縮 小半 群 の ため に 適用 さ れ 、 また 、 一般 的 な 場合 として フェラー - 宮寺 - フィリップス の 定理 （{ 仮 リンク | ウィリアム・フェラー | en | William Feller }、 宮寺 功 、 ラルフ・フィリップス の 名 に ちなむ ） と 呼ば れる 定理 が 存在 する 。

その他 の 場面 で は 、 この 定理 と 関係 の 深い ルーマー - フィリップス の 定理 が 、 「 与え られ た 作用素 が 強 連続 な 縮 小半 群 を 生成 する か どう か 」 を 見極める 上 で 有用 と なる 。

ヒレ - 吉田 の 定理 は 数学 者 の { 仮 リンク | エイナー・ヒレ | en | Einar Hille } と 吉田 耕作 の 名 に ちなみ 、 1948 年 前後 の 彼ら の 研究 によって それぞれ 独立 に 発見 さ れ た 。

ヒレ - 吉田 の 定理 は 、 バナッハ 空間 上 の 閉線 形 作用素 A が 、 ある 強 連続 一 パラメータ 半 群 の 無限 小 生成 素 で ある ため の 必要 十 分 条件 を 与える もの で ある 。

一般 的 に 、 ヒレ - 吉田 の 定理 は 理論 的 な 側面 において 重要 で ある と 考え られ て いる 。