なぜ なら ば 、 定理 に 現れる { 仮 リンク | レゾルベント 作用素 | en | resolvent operator } の 冪 乗 に関する 不等式 は 、 通常 、 具体 的 な 事例 において は その 成立 を 確かめる こと が 困難 で ある から で ある 。

特別 な 場合 として の 縮 小半 群 （ 上 の 定理 において M = 1 および ω = 0 で ある 場合 ） の 場合 に は 、 n = 1 で の 不等式 の 成立 のみ が 確かめ られれ ば 良い こと と なる ため 、 実際 の 応用 の 場面 における 定理 の 重要 性 も 確かめ られる 。

縮 小半 群 に対する ヒレ - 吉田 の 定理 は 、 次 の よう な もの で ある : A を バナッハ 空間 X の 線形 部分 空間 D ( A ) 上 で 定義 さ れる 線形 作用素 と する 。

この よう な より 厳密 な 取扱い を する こと により 、 通常 の 微分 積分 学 や 解析 学 における 様々 な 定理 が 、 函数 解析 学 における （ 函数 解析 学 に 特有 の 新た な 定理 と 並ぶ ） 相応 の 定理 へ と 一般 化 さ れる 。

可算 稠密 部分 集合 を 持ち 、 最大 元 も 最小 元 も 持た ない よう な 任意 の 線型 連続 体 は 実数 直線 に 順序 同型 で ある という 定理 が ある 。

より 複雑 な G δ - の 例 は 、 次 の 定理 から 得 られる 。

距離 空間 （ および 位相 空間 ） における G δ - 集合 の 概念 は 、 ベール の 範疇 定理 と 同様 に 距離 空間 の 完備 性 の 概念 と 強く 関係 する 。

この こと は 、 マズルキェヴィチ の 定理 として 述べ られる 。

の よう な 函 数列 の 極限 を 考える こと も 有用 で ある こと は 多く 、 函数 値 が 無限 大 と なる こと を 許容 し ない 場合 に は 単調 収斂 定理 や 優 収斂 定理 の よう な 本質 的 な 結果 が 意味 を 成さ ない 。

ベルンハルト・リーマン による 可 除 特異 点 定理 は 、 特異 点 が 除去 可能 で ある 条件 を 述べ た もの で ある 。

アルティン の 定理 の 述べる とおり 「 交代 多元 環 の 任意 の 二元 が 生成 する 部分 多元 環 は 結合 的 で ある 」 。

アルティン の 定理 を 「 交代 代数 において 結合 的 な 三 元 { math | x , y , z } ( 即ち { math |[ x ,& thinsp ; y ,& thinsp ; z ] {{=} 0 }}) の 生成 する 部分 多元 環 は 結合 的 で ある 」 と 一般 化 する こと が できる 。

ツォルン の 定理 に よれ ば 、 任意 の 有限 次元 非 結合 的 交代 代数 は 一般 八 元 数 代数 で ある 。

最大 値 定理 は 、 有界 性 定理 における 上 界 と 下界 の 存在 を 強め て 、 最小 上 界 を 最大 値 として 、 および 最大 下界 を 最小 値 として 、 それぞれ 実現 する 点 が 定義 域内 に 存在 する こと まで を も 主張 する の で ある 。

最大 値 の 定理 は ロル の 定理 の 証明 に 利用 さ れる 。

また 、 ヴァイエルシュトラス による 定式 化 で は 、 最大 値 の 定理 は 「 コンパクト 空間 から 実数 直線 の 部分 集合 へ の 連続 写像 は 最大 値 および 最小 値 を とる 」 と 述べ られる 。

最大 値 最小 値 定理 は 、 もともと ベルナルド・ボルツァーノ が 1830 年代 に 「 函数 論 」 の 研究 の 中 で 証明 を 得 て い た もの だ が 、 これら の 内容 は 1930 年 まで 公表 さ れ て い なかっ た 。

両 証明 は 今日 ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラス の 定理 として 知ら れる もの と 関係 する { harv | Rusnock | Kerr - Lawson | 2005 }。

後 の 1860 年 に 、 ヴァイエルシュトラス によって 最大 値 最小 値 定理 は 再 発見 さ れ { Citation needed | date = June 2011 }、（ 連続 函数 に関する ） ヴァイエルシュトラス の 定理 、 ヴァイエルシュトラス の 最大 値 定理 など として も 知ら れる 。

定理 を 用いる に は 定義 域 が 有界 かつ 閉 で ある こと が 必要 で ある こと を 示す 例 を 挙げる 。