上記 例 の 後 二 者 において & fnof ;( 0 ) = 0 と 定める こと で 、 定理 において 閉 区間 上 で 連続 で ある こと が 要求 さ れる こと が 理解 さ れる 。

最大 値 定理 の 証明 において は その 途中 段階 として 有界 性 定理 を まず 証明 する 。

任意 の { math | x ∈ [ a , b ]} に対して f ( x ) = –∞ なら ば 、 上限 も –∞ で 定理 は 成り立つ 。

有界 性 定理 の 証明 において 、 f の x における 上 半 連続 性 から は 、 部分 数列 { f ( xnk )} の 上 極限 が { math | f ( x ) (< ∞)} で 上 から 抑え られる こと しか 言え ない が 、 矛盾 を 得る に は それ で 十分 で ある 。

最大 値 定理 の 証明 において は 、 f の d における 上 半 連続 性 から は 部分 数列 { f ( dnk )} の 上 極限 が 有界 で ある こと f ( d ) によって 上 から 抑え られる こと が わかる が 、 それで 上限 M に対して f ( d ) = M が 成り立つ こと を 言う の に は 十分 で ある 。

実 数値 函数 が 上 半 連続 かつ 下 半 連続 で ある こと と 、 それ が 通常 の 意味 で 連続 で ある こと と は 同値 で ある から 、 上記 二つ の 定理 から 、 有界 性 定理 と 最大 値 最小 値 定理 が 導か れる 。

位相 空間 論 で は 、 最大 値 最小 値 定理 は より 一般 の 「 連続 写像 は コンパクト 性 を 保つ 」 という 事実 （ および 実数 直線 の 部分 集合 が コンパクト で ある こと と 有界 閉 区間 で ある こと と の 同値 性 ） から の 帰結 で ある 。

信号 処理 で は 、 { 仮 リンク | 離散 化 | en | Discretization } に 対応 する の は 標本 化 で あり 、 標本 化 定理 の 条件 が 満たさ れる 場合 、 情報 は 失わ れ ない 。

方程式 の 解 が 一意 で ある という 仮定 を 外せ ば 、 割り算 を 実行 する こと が でき ない こと も 起こり 得る が 、 いま 述べ た 形 の 定理 で あれ ば 、 方程式 系 の 係数 が 可 換環 に 値 を とる 場合 も 含め て 常に 成立 する が 、 これ は もはや クラメル の 法則 と 呼ば れる こと は ない 。

数学 における ルーマー - フィリップス の 定理 （ ルーマー - フィリップス の て いり 、 Lumer - Phillips theorem ） と は 、 ガンター・ルーマー および ラルフ・フィリップス の 名 に ちなむ 定理 で 、 バナッハ 空間 内 の 線形 作用素 が 縮 小半 群 を 生成 する ため の 必要 十 分 条件 について 述べ た 、 強 連続 半 群 の 理論 における 一つ の 結果 で ある 。

ルーマー - フィリップス の 定理 を 直接的 に 適用 する こと によって 望む 結果 が 得 られる よう な 例 は 、 さらに 多く 存在 する 。

変換 や スケーリング 、 摂動 理論 とともに 用い られる こと で 、 ルーマー - フィリップス の 定理 は 、 ある 作用素 が 強 連続 半 群 を 生成 する こと を 示す 上 で の 主要 な 道具 と なる 。

極大 消散 作用素 が 縮 小半 群 の 生成 素 として 特徴 づけ られる ルーマー - フィリップス の 定理 において 、 消散 作用素 の 概念 は 重要 な 役割 を 担う 。

ハーン - バナッハ の 定理 に従い 、 J は ノルム 保存 （ すなわち 、 || J ( x )|| = || x ||） で ある ため 、 単 射 で ある 。

より 一般 的 に 、 すべて の { 仮 リンク | 一 様 凸 空間 | label = 一 様 凸 | en | uniformly convex space } バナッハ 空間 は 、 { 仮 リンク | ミル マン - ペッティス の 定理 | en | Milman – Pettis theorem } に したがい 、 回帰 的 と なる 。

数学 における ハーン - バナッハ の 定理 （ ハーン - バナッハ の て いり 、 Hahn - Banach theorem ） は 、 関数 解析 学 の 分野 における 中心 的 な 道具 で 、 ベクトル 空間 の 部分 空間 上 で 定義 さ れる 有界 線形 汎 関数 が 全 空間 へ の 拡張 できる こと について 述べ た もの で ある 。

ハーン - バナッハ の 定理 の 別 形態 の もの として 、 ハーン - バナッハ の 分離 定理 あるいは { 仮 リンク | 分離 超 平面 定理 | en | separating hyperplane theorem } と 呼ば れる もの が あり 、 { 仮 リンク | 凸 幾何 学 | en | convex geometry } の 分野 で 多く 用い られ て いる 。

定理 の 名前 の 由来 は 、 1920 年代 後半 に それぞれ 独立 に この 定理 を 証明 し た ハンス ・ ハーン と ステファン ・ バナッハ で ある 。

定理 の 特別 な 場合 について は 、 より 早い 段階 （ 1912 年 ） で エードゥアルト・ヘリー によって 証明 さ れ て おり 、 また この 定理 が 導出 さ れる よう な ある 一般 の 拡張 定理 が 、 1923 年 に マルツェル・リース によって 証明 さ れ て い た 。

この 条件 は 、 ハーン - バナッハ の 定理 と 凸 性 の 間 の 深い 関係 を 明らか に する もの で ある 。