Mizar プロジェクト は 、 ハーン - バナッハ の 定理 の 完全 な 定式 化 と 自動 検証 さ れ た 証明 を HAHNBAN file に 有し て いる 。

この 定理 に は いくつ か の 重要 な 帰結 が 存在 し 、 しばしば それら も 「 ハーン - バナッハ の 定理 」 と 呼ば れる こと が ある 。

ハーン - バナッハ の 定理 の 別 形態 の もの として 、 ハーン - バナッハ の 分離 定理 という もの が 知ら れ て いる 。

この 定理 は { 仮 リンク | 凸 幾何 学 | en | convex geometry }、 最適 化 理論 、 経済 学 の 分野 で 幅広く 用い られ て いる 。

上述 の よう に 、 選択 公理 から ハーン - バナッハ の 定理 は 従う が 、 その 逆 は 真 で は ない 。

この こと を 示す 一つ の 方法 として は 、 選択 公理 より も 真に 弱い { 仮 リンク | ウルトラ フィルター の 補題 | en | ultrafilter lemma } から ハーン・バナッハ の 定理 を 証明 する こと が できる が 、 この 場合 その 逆 は 成り立た ない という こと に 着目 すれ ば よい 。

ハーン - バナッハ の 定理 は 、 実は 、 ウルトラ フィルター の 補題 より も さらに 弱い 仮定 を 用い て 証明 する こと も 出来る 。

可分 な バナッハ 空間 に対して 、 ブラウン と シンプソン は 、 ケーニヒ の 補題 を 公理 の 一つ と する { 仮 リンク | 二 階 算術 | en | second - order arithmetic } の 弱 部分 システム WKL 0 に から ハーン - バナッハ の 定理 が したがう 、 という こと を 証明 し た 。

ハーン - バナッハ の 定理 の 帰結 として 、 次 の よう な もの も 存在 する 。

K - 理論 の アプローチ から 得 られる 結果 の 例 として は 、 { 仮 リンク | ボット の 周期 性 | en | Bott periodicity }( Bott periodicity ) や アティヤ ＝ シンガー の 指数 定理 や { 仮 リンク | アダムズ 作用素 | en | Adams operation }( Adams operation ) が ある 。

この 主要 な 問題 は 、 アレクサンドル ・ グロタンディーク が { 仮 リンク | グロタンディーク - リーマンロッホ の 定理 | en | Grothendieck – Riemann – Roch theorem }( Grothendieck – Riemann – Roch theorem ) を 定式 化 する こと に 、 K - 理論 を 用い た { harvtxt | Grothendieck | 1957 } に 始まる 。

トポロジー で は 、 ベクトル 束 に 同じ 構成 を 適用 する こと により 、 { harvtxt | Atiyah | Hirzebruch | 1959 } は 位相 空間 X に対する K ( X ) を 定義 し 、 { 仮 リンク | ボット 周期 性 定理 | en | Bott periodicity theorem }( Bott periodicity theorem ) 用い て ある { 仮 リンク | 超 常 コホモロジー 論 | en | extraordinary cohomology theory }( extraordinary cohomology theory ) の 基底 を 与え た 。

これ は 指数 定理 の 別 証明 ( circa 1962 ) において 重要 な 役割 を 果たす 。

サンプリング 定理 による 制限 の ため クエンチング 周波数 は 受信 し たい 信号 の 帯域 幅 の 最低 で も 2 倍 以上 に し ない と 音質 が 悪く なる 。

この 記法 は 、 行列 指数 関数 や 、 汎 函数 計算 （ 例えば 、 スペクトル 定理 ） を通して 定義 さ れる 作用素 の 関数 に対する 記法 と 適合 する 。

次 の 定理 は 、 抽象 的 コーシー 問題 と 強 連続 半 群 の 関係 に関する もの で ある 。

定理 A を バナッハ 空間 X 上 の 閉 作用素 と する 。

この 問題 の 答え と なる よう な 定理 は 、 生成 定理 と 呼ば れる 。

強 連続 半 群 を 生成 する 作用素 に関する ひとつ の 完璧 な 特徴 づけ は 、 ヒレ - 吉田 の 定理 によって 与え られ た 。

また 、 より 実践 的 に 重要 で あり ながら 、 確認 する の が 簡単 な 条件 は ルーマー - フィリップス の 定理 によって 与え られ た 。