コンパクト 群 の 場合 に は 、 1920 年代 以降 ピーター ・ ワイル の 定理 により 定性的 に 理解 さ れ て い て 、 それ は 一般 に 有限 群 と その 指標 理論 の 類似 対応 物 と なっ て いる 。

プランシュレル の 定理 の 類似 は 、 ユニタリ 双対 群 上 の 測度 で ある プランシュレル 測度 を それ による 直 積分 を とる こと と 同一 視 する こと によって 抽象 的 に 与え られる （ ポントリャーギン 双対 性 の 場合 、 プランシュレル 測度 は G の 双対 群 上 の ある ハール 測度 に 一致 する ので 、 従って その 正規 化 だけ が 問題 で ある ） 。

実数 体 上 の ノルム 多元 体 は 同型 の 違い を 除い て しか なく 、 これ は フルヴィッツ の 定理 として 知ら れる 。

それでも 全体 を 尽くさ ない なら ば 、 三 度 ケイリー・ディクソン 構成 によって ケイリー 数 （ 八 元 数 ） 体 と 同型 な 部分 多元 環 を 得る が 、 この とき A の 1 を 含む A で ない 任意 の 部分 多元 環 が 結合 的 で ある こと が 定理 として わかっ て いる ので 、 結合 的 で ない 八 元 数 体 は 従っ て A と 一致 し なけれ ば なら ない 、 という 具合 で ある 。

フルヴィッツ の 定理 （" 1 , 2 , 4 , 8 定理 ") は アドルフ ・ フルヴィッツ により 1898 年 に 示さ れ た もの で 、 「 n 個 の 平方 数 の 和 が n 個 の 平方 数 の 和 同士 の （ 双 線型 な ） 積 に 表さ れる の は n が 1 , 2 , 4 , 8 の 何れ か に 等しい 場合 に 限る 」 という もの で ある 。

拡張 ユークリッド 互除 法 の 代わり に オイラー の 定理 を モジュラ 逆数 の 計算 に 利用 する こと も できる 。

フェケテ の 補題 は 、 劣 加法 函数 に関して も 類似 の 定理 が 成立 する 。

すべて の トレース 級 S に対して 、 Tr ( T α S ) = ∑ λ i vi *( T α ui ) は ∑ λ i vi *( T ui ) = Tr ( TS ) へ と 収束 する こと が 、 例えば 優 収束 定理 が 用い られる こと で 、 示さ れる 。

以上 から 、 { 仮 リンク | バナッハ - アラオグル の 定理 | en | Banach – Alaoglu theorem } によって 、 すべて の ノルム 有界 集合 は WOT において コンパクト で ある こと が 分かる 。

特に 有名 な 論文 として Vijay Vazirani と 共同 執筆 し た 論文 が あり 、 UNIQUE - SAT ∈ P ⇒ NP = RP を 証明 し た （{ 仮 リンク | ヴァリアント - ヴァジラーニ の 定理 | en | Valiant – Vazirani theorem }）。

この 定理 は 後 に { harvtxt | Flensted - Jensen | 1986 } が 、 球 反転 定理 と は 独立 に 、 彼 の 複素 係数 の 場合 へ の 還元 法 の 修正 版 を 用い て 証明 し て いる 。

ハリッシュ ＝ チャンドラ の もともと の 証明 は 帰納 法 を 用い た 長い もの で あっ た が 、 { harvtxt | Anker | 1991 } は ペイリー - ウィーナー の 定理 の 一種 と 反転 公式 を 用い て 直接的 に 簡略 化 し た 短く 単純 な 証明 を 発見 し た 。

数学 の 測度 論 の 分野 における ルベーグ の 優 収束 定理 （ ゆう し ゅうそくていり 、 dominated convergence theorem ） と は 、 ある 関数 列 に対して 、 その ルベーグ 積分 と 、 ほとんど 至る 所 で の 収束 という 二つ の 極限 操作 が 可 換 と なる ため の 十分 条件 について 述べ た 定理 で ある 。

リーマン 積分 に対して は 、 優 収束 定理 は 成立 し ない 。

優 収束 定理 の 持つ 威力 と 有用 性 は 、 リーマン 積分 より も ルベーグ 積分 が 理論 的 に 優れ て いる という こと を 示す もの で ある 。

この 定理 は 、 確率 変数 の 期待 値 の 収束 の ため の 十分 条件 を 与える ため 、 確率 論 の 分野 において 広く 利用 さ れ て いる 。

ルベーグ の 優 収束 定理 は { 仮 リンク | ファ トウ - ルベーグ の 定理 | en | Fatou – Lebesgue theorem } の 特別 な 場合 で ある 。

を 意味 し 、 したがって 定理 の 主張 は 示さ れる 。

もし 定理 の 仮定 が μ に関して ほとんど 至る 所 で のみ 成立 する もの で あれ ば 、 ある μ に関する 空 集合 N ∈ Σ が 存在 し 、 関数 ƒn 1 N は S 上 の 至る 所 で それら の 仮定 を 満たす 。

関数 列 { ƒn } は 一様 可 積分 で すら ない ため 、 ヴィタリ の 収束 定理 を 適用 する こと も 出来 ない 。