そして 、 この 考え方 を 使っ て 汎用 的 で アプリオリ な 確率 分布 を 生成 する 方法 と 、 ベイズ の 定理 を 帰納 推論 に 使える よう に する 方法 を 示し て いる 。

その 中 で 収束 定理 の 証明 を 発表 し て いる 。

1999 年 の 論文 で 順序 に 従わ ない 文字 列 を 扱う ため Universal Distribution を 一般 化 し 収束 定理 と 組み合わせ て いる 。

例えば 、 { 仮 リンク | フレシェ 空間 における 微分 法 | en | Differentiation in Fréchet spaces } は 、 しばしば 可 微分 多様 体 上 の 滑らか な 函数 から なる 意味 の ある 函数 空間 において 、 { 仮 リンク | ナッシュ - モーザー の 逆 写像 定理 | en | Nash – Moser inverse function theorem } など で 応用 さ れる 。

基本 定理 の 帰結 として 他 に も 、 など が 成立 する 。

この 例 は 任意 の 無限 次元 ノルム 空間 上 の （ 終 域 が 自明 で ない ） 不連続線 型 写像 の 存在 について の 一般 定理 に 拡張 する こと が できる 。

既に 注意 し た 通り 、 一般 の 不連続線 型 写像 の 存在 定理 に は 選択 公理 ( AC ) が 用い られる 。

例えば 、 アンリ・ジョルジュ・ガルニール は 、 所 謂 「 夢 の 空間 」 （" dream spaces ", その 上 で 定義 さ れる ノルム 空間 に 値 を 取る 任意 の 線型 写像 が 連続 と なる 位相 線型 空間 ） の 探索 において 、 ZF + DC + BP （ 従属 選択 公理 は 弱い 形 の 選択 公理 で あり 、 ベール の 性質 は 強い 選択 公理 の 否定 で ある ） が ガルニール - ライト の 閉 グラフ 定理 を 証明 する 公理系 として 採用 し て いる 。

この 閉 グラフ 定理 は 、 （ 他 に も いろいろ ある が ） F - 空間 から 位相 線型 空間 へ の 任意 の 線型 写像 が 連続 と なる こと を 述べる もの で ある 。

もっと 強烈 な 構成 主義 で は 、 （ 適当 な 枠組み において 解釈 する と ） 任意 の 写像 が 連続 と なる こと を 主張 する Ceĭtin の 定理 が ある 。

閉 グラフ 定理 は 完備 な 定義 域 上 の 至る 所 定義 さ れ た 閉 作用素 が 連続 で ある こと を 保証 する から 、 不連続 閉 作用素 を 考える 文脈 で は 至る 所 定義 さ れる の で は ない 作用素 を 許さ ね ば なら ない 。

ストーン - ヴァイエルシュトラス の 定理 の 帰結 として 、 この 作用素 T の グラフ は X × Y で 稠密 で あり 、 極大 不連続線 型 写像 の 一種 を 与える （{ 仮 リンク | 至る 所 不連続 な 函数 | en | nowhere continuous function } を 参照 ） 。

他方 、 任意 の 局所 凸 空間 に 適用 できる ハーン - バナッハ の 定理 は 、 多く の 連続 線型 汎 函数 が 存在 し て 、 双対 空間 が 十分 に 大きい こと を 保証 する 。

その後 も ロチェスター は 、 アーサー ・ サミュエル の チェッカー ・ プログラム や 、 ハーバート・ジェラーンター ( Herbert Gelernter ) の 幾何 学 定理 証明 機 、 アレックス ・ バーンスタイン ( Alex Bernstein ) の チェス ・ プログラム など 、 IBM における 人工 知能 プロジェクト を 監督 し 続け た { sfn | Crevier | 1993 | pp = 57 – 58 }。

ビリ アル 定理 を 用いる と 、 次 の こと が 分かる 。

例えば 、 スモゴルチェフスキー は ロバチェフスキー 幾何 学 の 創始 以前 に 反転 幾何 学 の 様々 な 定理 を 展開 し て いる 。

高 次元 の 共 形 写像 が n - 次元 球面 または 超 平面 に関する 反転 と ユークリッド の 運動 から 厳密 に 生じる という こと は 、 著しい 事実 で ある （ { 仮 リンク | 等角 写像 に関する リウヴィル の 定理 | en | Liouville ' s theorem ( conformal mappings )} を 参照 ） 。

ロドニー・ブルックス は 、 初期 の AI 研究 について 、 高等 教育 を 受け た 男性 科学 者 にとって 挑戦 に 値する 事柄 （ チェス 、 記号 積分 、 数学 定理 の 証明 、 代数 学 の 複雑 な 文章 問題 を 解く こと など ） が 知能 を 最も 発揮 する という 考え方 が あっ た と 説明 し て いる 。

数学 における マシュケ の 定理 （ マシュケ の て いり 、 Maschke ' s theorem ） は 、 ハインリヒ ・ マシュケ に 名 を 因む 群 の 表現 論 の 定理 で 、 有限 群 の 表現 が 既 約 表現 に 分解 さ れる こと を 述べる もの で ある 。

有限 群 G の ある 標 数 0 の 体 上 の 有限 次元 表現 ( V , ρ ) と 、 V の G - 不変 部分 空間 U に対し 、 マシュケ の 定理 の 主張 は U が G - 不変 な 直和 補 因子 W を 持つ こと 、 言い換えれ ば 、 表現 ( V , ρ ) が 完全 可 約 で ある こと を 述べる もの で ある 。