より 一般 に 、 有限 体 の よう な 正 標 数 p を 持つ 体 に対して も 、 p が 群 G の 位 数 を 割り切ら ない なら ば 、 マシュケ の 定理 は 成り立つ 。

マシュケ の 定理 は 「 一般 の 有限 次元 表現 は 既 約 部分 表現 から 直和 を とる こと によって 構成 する こと が できる か 」 という 問い に対する もの で ある 。

加 群 の 言葉 で 定式 化 し た マシュケ の 定理 は 、 以下 の よう に 述べ られる 。

この 定理 の 重要 性 は 、 半 単純 環 に関する よく 展開 さ れ た 理論 、 特に アルティン - ウェダーバーン の 定理 （ ウェダーバーン の 構造 定理 ） から 生じる 。

K が 複素数 体 C の とき 、 定理 から 群 環 KG が 複素 正方 行列 環 の いくつ か の コピー の 直積 に 分解 さ れる こと が 示さ れる （ それぞれ の 因子 が 何れ も 既 約 表現 を 与える ） 。

翻って 表現 論 で は 、 マシュケ の 定理 （ あるいは それ を 加 群 を 用い て 述べ た もの ） から は 、 有限 群 G の 表現 について 、 実際 に 計算 する こと なし の 一般 的 構成 法 が 得 られる 。

定理 を 適用 すれ ば 任意 の 表現 は 既 約 成分 の 直和 に なる から 、 任意 の 表現 を 分類 しよ う という 表現 論 の 課題 は 、 既 約 表現 を 分類 する と いう より 扱い やすい 課題 に 帰着 さ れる 。

さらに 、 ジョルダン - ヘルダー の 定理 から 従う こと として 、 既 約 部分 表現 へ の 直和 分解 は 一意 で は ない かも しれ ない が 、 既 約 成分 の 重複 度 は 矛盾 なく 定まる 。

マシュケ の 定理 は 、 さらに 次 の よう に 一般 化 さ れる 。

マシュケ の 定理 において 群 が 有限 で ある こと は 必須 の 条件 で ある 。

ファトゥ の 補題 は 、 { 仮 リンク | ファトゥ・ルベーグ の 定理 | en | Fatou – Lebesgue theorem } や 、 ルベーグ の 優 収束 定理 の 証明 に 使う こと が 出来る 。

しかしながら 、 ここ で は 条件 付き 期待 値 に対する 単調 収束 定理 が 必要 と なる 。

これ は 定理 の 主張 を 意味 する 。

以下 は 、 ボレル 空間 に関する 数 ある クラトフスキー の 定理 の うち の 一つ で ある 。

（ この 結果 は マハラム の 定理 を 髣髴 と さ せる ） 。

そうすると 、 この 喩話 において 上記 の 定理 は 「 二 人 の 登山 者 の 路程 は 、 初期 位置 において 直交 する 」 こと を 述べる もの に なる 。

この 定理 から の 帰結 として 、 直線 が （ より 正確 に は 多様 体 あるいは 可 微分 超 曲面 で ない ） 等位 線 と 交わる なら ば 、 その 勾配 は 各 交点 において 消える 。

これ は 、 命題 論理 における ヒルベルト スタイル と 自然 演繹 スタイル の 証明 系 が 等価 で ある こと と 対応 する （ 演繹 定理 ） 。

故に 、 バナッハ 空間 論 で よく 知ら れ た 古典 的 な 三 定理 は LF - 空間 に対して 一般 化 する こと が できる 。

フジテレビジョン の バラエティ 番組 『 ピカル の 定理 』 に関する カテゴリ 。