ゲーデル の 定理 は Q の 7 つ の 公理 の どれ か ひとつ を 落とす と 成立 し なく なる 。

ただし この こと は Q より も 弱い 理論 で は ゲーデル の 定理 が 成立 し ない という こと を 意味 し ない 。

これ を 示す に は 選択 公理 より 弱い { 仮 リンク | ブール 素 イデアル 定理 | en | Boolean prime ideal theorem } が あれ ば 十分 で 、 それ は 自然 数 全体 の 集合 の 上 の 非 単項 { 仮 リンク | ウルトラ フィルター | en | Ultrafilter } の 存在 を 導き 、 その よう な ウルトラ フィルター は 実数 の 二 進 小数 展開 によって ベール の 性質 を 満たさ ない 実数 集合 に なる 。

ジュリウス・ピーターセン の 定理 は 、 { 仮 リンク | 橋 ( グラフ 理論 )| label = 橋 | en | bridge ( graph theory )} の 無い すべて の 立方体 グラフ に は 完全 マッチング が 存在 する 、 という もの で ある 。

以下 の 定理 は コーシー・ビネ の 公式 として 知ら れ て いる 一般 化 で ある : n を 自然 数 と し 、 集合 { 1 ,..., n } を [ n ] と 表記 する 。

グラフ が 完全 で ない こと と 同値 な 定義 は 、 任意 の 二つ の 頂点 が k 独立 な 道 ( 点 素 パス ) によって 結ば れる とき に グラフ が k - 連結 で ある こと で ある ; メンガー の 定理 を 参照 さ れ たい { Harv | Diestel | 2005 | p = 55 }。

任意 の k - 次元 凸 ポリトープ の { 仮 リンク | スケルトン ( 位相 幾何 学 )| label = スケルトン | en | Skeleton ( topology )} は 、 k - 頂点 連結 グラフ を 形成 する （ バリンスキー の 定理 、 { harvnb | Balinski | 1961 }）。

その 部分 的 な 逆 として 、 { 仮 リンク | シュタイニッツ の 定理 | en | Steinitz ' s theorem } で は 、 任意 の 3 - 頂点 連結 平面 グラフ は 凸 多面体 の スケルトン を 形成 する 、 という こと が 述べ られ て いる 。

数学 の 一 分野 で ある { 仮 リンク | 多面体 組み合わせ 論 | en | polyhedral combinatorics } における バリンスキー の 定理 （ バリンスキー の て いり 、 Balinski ' s theorem ） と は 、 三 次元 多面体 および より 高 次元 の ポリトープ の 持つ グラフ 理論 的 構造 に関する 定理 で ある 。

ある d - 次元 凸 多面体 あるいは ポリトープ （ その { 仮 リンク | スケルトン ( 位相 幾何 学 )| label = スケルトン | en | skeleton ( topology )}） の 頂点 と 辺 から 無向 グラフ を 形成 する とき 、 その グラフ は 少なくとも d - 頂点 連結 （ すなわち 、 どの よう な d − 1 個 の 頂点 を 取り除い て も 、 残さ れ た グラフ は 連結 ） で ある 、 という こと を 述べ た 定理 で ある 。

バリンスキー の 定理 は 、 その 証明 を 1961 年 に 与え た 数学 者 の ミシェル ・ L ・ バリンスキー の 名 に ちなむ 。

しかし 三 次元 の 場合 について は 二 十 世紀 初頭 に 、 三 次元 多面体 の グラフ は 3 - 連結 平面 グラフ で ある という { 仮 リンク | シュタイニッツ の 定理 | en | Steinitz ' s theorem } として 結果 が 得 られ て い た 。

代数 学 における コーシー・ビネ の 公式 ( こ ー し ー ・ びねのこうしき 、 Cauchy - Binet formula )、 あるいは 、 コーシー・ビネ の 定理 、 コーシー・ビネ の 展開 と は 、 { 仮 リンク | ジャック・フィリップ・マリー・ビネ | en | Jacques Philippe Marie Binet } および オーギュスタン ＝ ルイ ・ コーシー に 由来 する 恒等 式 で 、 2 つ の 行列 の 積 から 作ら れる 正方 行列 の 行列 式 を 、 元 の 行列 から 取り出せる 最大 の 小 行列 式 の 積 の 和 で 表せる という もの で あり 、 行列 の 要素 は 実数 や 複素数 だけ で なく 可 換環 として も 成立 する 。

ゆらぎ の 定理 （ Fluctuation Theorem , FT ） と は 、 ある 過程 の 実現 確率 と 、 その 逆 過程 の 実現 確率 と の 間 に 、 対称 性 が 存在 する こと を 示し た 定理 で ある 。

ゆらぎ の 定理 は 、 平衡 近傍 に 適応 する と 相反 定理 、 揺 動 散逸 定理 、 線形 応答 理論 を 、 等温 系 で 適応 する と Jarzynski 等式 を 導く こと が 出来る 。

ゆらぎ の 定理 は 、 線形 応答 の 関係 を 、 非線形 な 領域 に まで 拡張 し た もの と も 見る こと が できる 。

それ まで 有 意味 な 関係 式 が ある と 思わ れ て こ なかっ た よう な 領域 において 発見 さ れ た 関係 式 で あり 、 その ため 発見 さ れ た 90 年代 以降 、 ゆらぎ の 定理 に 関係 し た 研究 は 活発 に 行わ れ て いる 。

ゆらぎ の 定理 は 、 1993 年 に エヴァンス 、 コーエン 、 モリス によって 、 Nose - Hoover 熱 浴 の シミュレーション において 発見 さ れ た 。

当時 は Nose - Hoover 熱 浴 特有 の 性質 と 思わ れ て い た が 、 1998 年 に Kurchan によって ランジュバン 方程式 に 従う 系 に 、 2000 年 に Jarzynski によって 一般 の ハミルトン 系 に対して 証明 が なさ れ 、 極めて 一般 的 に 成り立つ 定理 で ある こと が 分かっ た 。

ゆらぎ の 定理 は 、 状態 変化 の 速 さ （ 例えば 、 ピストン を 動かす 速 さ ） に対して いかなる 制限 も なさ れ て い ない 。