これ は 、 操作 が 準 静的 のみ 、 あるいは 線形 応答 領域 のみ の よう に 制限 さ れ て い た これ まで の 定理 と 一線 を 画する 部分 で ある 。

また 、 この 定理 は エントロピー が 増える よう な 「 極めて 典型 的 な 状態 変化 」 の 発生 確率 と 、 エントロピー が 減る よう な 「 極めて まれ な 状態 変化 」 の 発生 確率 と の 間 に 、 上記 の よう な 極めて シンプル な 関係 が 存在 し て いる こと を 主張 し て いる 。

ゆらぎ の 定理 以前 に は 、 その よう な 「 極めて まれ な 状態 変化 」 の 発生 確率 について 有意義 な 関係 式 など 存在 し ない だろ う と 思わ れ て い た ので 、 この 定理 は そうした 常識 的 な 見方 を 覆し た という 意義 も 持っ て いる 。

多く の 場合 、 ゆらぎ の 定理 は 上記 の よう な 「 ある 遷移 過程 における 順 過程 と 逆 過程 の エントロピー 生成 率 の 関係 」 を 指す が 、 定常 状態 における エントロピー 生成 率 の 大 偏差 性質 について の 定理 も 「 ゆらぎ の 定理 」 と 呼ば れる こと が ある 。

これら を 区別 する ため 、 前者 を 「 遷移 過程 の ゆらぎ の 定理 」 、 後者 を 「 定常 過程 の ゆらぎ の 定理 」 と 呼ぶ こと も ある 。

それら の 定義 は 直感 に そぐわない もの で も ある かも 知れ ない が 、 統計 学 における 多く の 定理 の 証明 に 利用 さ れ て いる 。

その 補題 に よれ ば 、 { Xn } が X へ 分布 収束 する ため の 必要 条件 は 、 次 の いずれ か が 成立 する こと で ある ： { 仮 リンク | 連続 写像 定理 | en | Continuous mapping theorem } に よる と 、 g (·) が 連続 関数 で ある とき 、 確率 変数 列 { Xn } が X に 分布 収束 する なら 、 { g ( Xn )} も g ( X ) へ と 分布 収束 する こと が 分かる 。

{ 仮 リンク | レヴィ の 連続 性 定理 | en | Lévy ’ s continuity theorem }： 確率 変数 列 { Xn } が X に 分布 収束 する ため の 必要 十 分 条件 は 、 それら に 対応 する 特性 関数 の 列 { φ n } が X の 特性 関数 φ へ と 各 点 収束 する こと で ある 。

スコロホッド の 表現 定理 は 、 分布 収束 へ の 自然 な 拡張 で ある 。

文献 の うち 、 バウダーヤナ は 3 章 に わか れ て おり 、 ピタゴラス の 定理 の 一般 的 な 説明 、 2 の 平方根 を 小数点 第 5 位 まで 求める 方法 、 円 の 方形 化 （ 円 積 問題 ） を はじめ と する 等 面積 変換 など が 書か れ て いる 。

また 、 精密 な 三角 関数 表 を 作成 し 、 余弦 定理 を 三角 測量 に 使い やすく し た 。

この ため フランス で は 、 余弦 定理 を 「 アル ・ カーシー の 定理 」 ( Théorème d ' Al - Kashi ) と 呼ぶ 。

可 測 性 と 弱 可 測 性 の 関係 について 、 ペティス の 定理 あるいは ペティス の 可 測 性 定理 として 知ら れる 次 の 結果 が 得 られ て いる 。

定理 （ ペティス ） ： 測度 空間 ( X , Σ , μ ) 上 で 定義 さ れ 、 バナッハ 空間 B に 値 を 取る 関数 f : X → B が 、 Σ および B 上 の ボレル σ - 代数 について （ 強 ） 可 測 で ある ため の 必要 十 分 条件 は 、 それ が 弱 可 測 かつ ほとんど 確実 に 可分 値 で ある こと で ある 。

ベクトル 測度 の 理論 における リャプノフ の 定理 に よれ ば 、 （{ 仮 リンク | 原子 元 | label = 非 原子 的 | en | atom ( measure theory )} な ） ベクトル 測度 の 値域 は 閉 かつ 凸 で ある 。

この 定理 は 、 数理 経済 学 や 、 ビッグバン 制御 理論 、 および { 仮 リンク | 統計 理論 | en | statistical theory } において 用い られる 。

リャプノフ の 定理 は 、 その 離散 相似 と 見なさ れる { 仮 リンク | シャー プレー ＝ フォーク マン の 補題 | en | Shapley – Folkman lemma } を 用いる こと によって 証明 さ れる 『 エピソード 』 は 、 2011 年 9 月 28 日 に 、 星野 源 が シンガーソングライター として 発売 し た セカンド アルバム 。

数学 および 統計 学 の 分野 における スコロホッド の 表現 定理 （ スコロホッド の ひょうげん て いり 、 Skorokhod ' s representation theorem ） と は 、 極限 測度 が 十分 に 良い 振る舞い （ well - behaved ） を する 確率 測度 の { 仮 リンク | 測度 の 収束 | label = 弱 収束 | en | Weak convergence of measures } 列 は 、 共通 の 確率 空間 上 で 定義 さ れる 確率 変数 の 各 点 収束 列 の 分布 / 法則 として 表現 さ れる 、 という こと を 述べ た 定理 で ある 。

いくつ か の 主要 な 定理 が 、 特に 関数 空間 における 相対 コンパクト 部分 集合 を 扱っ て いる 。

その よう な 例 の 一つ として 、 { 仮 リンク | アルツェラ - アスコリ の 定理 | en | Arzelà – Ascoli theorem } が 挙げ られる 。