すなわち 、 基礎 体 が 実数 体 で ある なら 、 それら 二つ の 空間 は 等 長 同型 で あり 、 複素数 体 で ある なら 、 それら は 等 長 { 仮 リンク | 反 同型 | en | antiisomorphic } で ある 、 という こと について この 定理 は 述べ て いる 。

定理 Φ ( x ) = φ x で 定義 さ れる 写像 Φ : H → H * は 、 等 長 （ 反 ） 同型 で ある 。

ここ で の 定理 は 、 Cc ( X ) 上 の 正 の 線型 汎 函数 を 表現 する もの で ある 。

その 区間 で の ボレル 正則 測度 と 、 有界 変動 関数 の 間 に は 一対一 の 対応 が ある ため 、 上述 の 定理 は リース の 元々 の 定理 の 内容 を 一般 化 する もの で ある （ 歴史 的 な 議論 について は 、 Gray ( 1984 ) を 参照 ） 。

以下 の 定理 は リース ＝ マルコフ の 定理 （ Riesz - Markov theorem ） と も 呼ば れ 、 { 仮 リンク | 無限 大 で の 消失 | label = 無限 大 で 消失 する | en | vanish at infinity } X 上 の 連続 関数 の 集合 C 0 ( X ) の 双対 空間 の 具現 化 を 与える もの で ある 。

注意 有界 線形 汎 函数 に対する ハーン - バナッハ の 定理 によって 、 Cc ( X ) 上 の すべて の 有界 線形 汎 函数 が C 0 ( X ) 上 の 有界 線形 汎 函数 へ と 拡張 さ れる 方法 は 唯 一つ で あり 、 また C 0 ( X ) は 上限 ノルム における Cc ( X ) の 閉包 で ある ため に 、 上述 の 第 一 の 定理 の 内容 は 第 二 の 定理 を 意味 する もの と 考える 人 が いる かも しれ ない 。

したがって 、 それら 二つ の 定理 は 同値 で は ない 。

数学 の 分野 における ルベーグ 測度 の 正則 性 定理 （ ルベーグ そく どの せいそく せい て いり 、 Regularity theorem for Lebesgue measure ） と は 、 実数 直線 上 の ルベーグ 測度 は 正則 測度 で ある という こと について 述べ た 、 測度 論 の 分野 の 一 結果 で ある 。

くだけ た 言い方 を すれ ば 、 実数 直線 に 含ま れる すべて の ルベーグ 可 測 部分 集合 は 、 「 近似 的 に 開 」 かつ 「 近似 的 に 閉 」 で ある 、 という こと を この 定理 は 意味 し て いる 。

さらに 、 A が 有限 ルベーグ 測度 を 持つ なら 、 C は コンパクト で ある よう に 選ぶ こと が 出来る （ したがって 、 ハイネ・ボレル の 定理 により 、 閉 かつ 有界 で ある よう に 選ぶ こと が 出来る ） 。

サード の 定理 （ サード の て いり 、 Sard ' s theorem ） 、 サード の 補題 、 モース・サード の 定理 は 解析 学 の 定理 で 、 「 ユークリッド 空間 （ または 多様 体 ） から 他 の ユークリッド 空間 （ または 多様 体 ） へ の 滑らか な 関数 f について 、 f の 臨界 点 全体 の f による 像 は 、 ルベーグ 測度 が 0 で ある （ つまり 、 零 集合 で ある ） 」 こと を 言う もの で ある 。

この よう な 点 x 全体 の 集合 を X と する とき 、 サード の 定理 に よれ ば 、 k ≧ max { n - m + 1 , 1 } の とき X の f による 像 が M の 部分 集合 として 測度 0 で ある という の で ある 。

この こと は 、 ユークリッド 空間 について の サード の 定理 を もと に 、 多様 体 に 可算 個 の 局所 座標 空間 の 貼り あわせ を 考える こと によって 導か れる 。

この 定理 に は いろいろ な 形 が 知ら れ て おり 、 それぞれ の 分野 において 特異 点 の 理論 の 基礎 と なっ た 。

本 定理 は 、 高度 な 解析 学 を 用い て 証明 さ れる 強力 な 定理 で ある 。

位相 幾何 学 において は 、 （ たとえば 、 ブラウワー の 不動点 定理 や 諸々 の モース 理論 の 応用 において ） 本 定理 の 系 で ある 「 定数 写像 で ない 滑らか な 写像 は 少なくとも 1 つ の 正則 な 値 を とる 」 、 あるいは 「 ―― したがって 、 少なくとも 1 つ の 正則 点 が ある 」 という 定理 を 導く ため に たびたび 使わ れ て いる 。

1965 年 に 、 本 定理 は サード によって さらに 一般 化 さ れ た 。

ヴィタリ の 定理 は その よう な 集合 が 存在 する こと を 保証 する 存在 定理 で ある 。

しかし 、 ルベーグ 測度 の 構成 （ カラテオドリ の 拡張 定理 を 使う ） 自体 から は 不可測 集合 の 存在 は 明らか に 分かる こと で は ない 。

数学 における 不動点 定理 （ ふ どう てんてい り 、 fixed point theorem , fixpoint theorem ） と は 、 ある 条件 の 下 で 自己 写像 f : A → A は 少なくとも 1 つ の 不動点 、 すなわち f ( x ) = x と なる 点 x ∈ A を 持つ こと を 主張 する 定理 の 総称 を 言う 。