不動点 を 利用 し た 定理 は 応用 範囲 が 広く 、 分野 を 問わ ず 様々 な もの が ある 。

代数 的 位相 幾何 学 における レフシェッツ の 不動点 定理 （ および ニールセン の 不動点 定理 ） は 、 ある 意味 で 「 不動点 の 個数 を 数える 方法 」 を 示す もの で ある ため 重要 で ある 。

また 、 不動点 定理 は 、 バナッハ 空間 や 他 の さらに 抽象 的 な 空間 へ の 一般 化 が 数多く 知ら れ て おり 、 偏 微分 方程式 論 に 応用 さ れ て いる 。

詳しく は { 仮 リンク | 無限 次元 空間 における 不動点 定理 | en | fixed - point theorems in infinite - dimensional spaces } を 参照 さ れ たい 。

この ほか 、 { 仮 リンク | コラージュ 定理 | en | collage theorem } は フラクタル 圧縮 の 分野 における 定理 で あり 、 多く の 画像 に対して 、 ある 比較的 小さな 式 で 表さ れる 関数 が 存在 し て 「 どんな 初期 値 の 画像 から 始め て も 、 その 関数 を 繰り返し 適用 すれ ば 、 急速 に 目的 の 画像 に 収束 する 」 よう に できる こと が 証明 する もの で ある 。

解析 学 の 範疇 から は 少し 離れ 、 { 仮 リンク | クナスター・タルスキー の 定理 | en | Knaster – Tarski theorem } は 連続 関数 を 扱わ ない 定理 で ある 。

この 定理 は 、 完備 束 の 上 の 単調 関数 に は 必ず 不動点 が 存在 し 、 したがって 「 最小 の 不動点 」 が 存在 する こと を 述べ て いる 。

詳しく は { 仮 リンク | ブルバキ・ヴィット の 定理 | en | Bourbaki – Witt theorem } を 参照 さ れ たい 。

不動点 定理 を 適用 する 対象 の 関数 は 、 論理 的 な 観点 から は 同一 の 関数 だ が 、 その 理論 の 展開 は 多岐 に わたっ て いる 。

プログラム 言語 の 表示 的 意味 論 の 分野 で は 、 再帰 的 定義 の 意味 論 を 構築 する ため に 、 クナスター・タルスキー の 定理 の ある 特別 な 場合 を 用い て いる 。

また 、 計算 可能 性 理論 において も 、 クリーネ の 再帰 定理 を 使え ば 、 再帰 的 関数 を 同様 に 定義 する こと が できる 。

なお 、 これら の 各 分野 で 用い て いる 定理 は 等価 で は なく 、 クナスター・タルスキー の 定理 という の は 、 表示 的 意味 論 で 用い て いる 定理 より も ずっと 強い 定理 で ある 。

ブラウワー の 不動点 定理 は 位相 空間 上 の 連続 写像 に対して 成り立つ が 、 連続 関数 で は ない 離散 的 関数 に対して 成り立つ よう に ブラウワー の 不動点 定理 を 一般 化 し た 定理 を 角谷 の 不動点 定理 と 呼ぶ 。

完備 束 上 に 定義 さ れ た 単調 関数 の 集合 に対して 定まる 単調 関数 の 不動点 の 集合 は 完備 束 を 成す という 定理 で ある 。

この 定理 の 言明 において 、 2 つ の 事柄 が 仮定 さ れ て いる 。

よって 量子 複製 不可能 定理 は 完全 な 一般 性 を もっ て 成り立つ 。

複製 不可能 定理 の もう 一つ の 表現 方法 は 、 量子 的 な 信号 の 増幅 が 、 ある 直交 基底 によって しか 出来 ない という 事 で ある 。

量子 複製 不可能 定理 に は 、 以下 の よう に し て 古典 論 における 類似 ケース を 作る 事 が できる 。

従って 、 量子 複製 不可能 定理 が 量子 論 に 特有 の もの で ある と 示す ため に は 、 いくつ か の 注意 が 必要 で ある 。

大 直交 性 定理 を 具体 例 に 応用 する こと で 、 以下 の 重要 な 結論 が 導か れる 。