ポアンカレ の 1895 の 論文 { 仮 リンク | Analysis Situs | en | Analysis Situs ( paper )} で は 、 この 定理 を 彼 の 開発 し た トポロジー の 交叉 理論 を 使い 証明 しよ う と し た 。

ポアンカレ 双対 定理 の 現代 的 な ステートメント は 、 ホモロジー と コホモロジー の 言葉 で 記述 さ れる 。

特に 、 { 仮 リンク | 一般 ホモロジー 論 | en | homology theory }( generalized homology theory ) の ポアンカレ 双対 は 、 ホモロジー 論 に関して 向き 付け の 考え を 要求 し 、 一般 化 さ れ た { 仮 リンク | トム 同型 定理 | en | Thom space }( Thom Isomorphism Theorem ) の ことば で 定式 化 さ れる 。

この 観点 で の トム 同型 定理 は 、 一般 ホモロジー 論 の ポアンカレ 双対 の 原点 的 な アイデア と 考える こと が できる 。

実際 、 スペクトル 定理 を 適用 する こと で 、 可分 な ヒルベルト 空間 上 の すべて の 通常 の トレース クラス 作用素 は 、 l 1 数列 で ある と 見なす こと が 出来る 。

Lp が 完備 で ある こと は しばしば { 仮 リンク | リース ＝ フィッシャー の 定理 | en | Riesz - Fischer theorem } として 述べ られ て いる 。

完備 性 は ルベーグ 積分 に対する 収束 定理 を 用いる こと で 確かめ られる 。

また 、 任意 の G ∈ Lp ( μ )∗ も この 方法 で 表現 さ れる こと 、 すなわち κ p は 全 射 で ある こと も 、 （ 例えば ラドン ＝ ニコディム の 定理 を 用い て ） 証明 する こと が 出来る 。

これ は リース ＝ ソリ ン の 定理 の 帰結 で 、 { 仮 リンク | ハウスドルフ ＝ ヤング の 不等式 | en | Hausdorff – Young inequality } により 確かめ られる 。

しかし 、 p < 1 の 場合 、 Hp に対して も ハーン - バナッハ の 定理 は 成立 し ない { harv | Duren | 1970 | loc =§ 7 . 5 }。

それら は 例えば { 仮 リンク | ミュッケンハウプト の 重み | label = ミュッケンハウプト の 定理 | en | Muckenhoupt weights } に 現れる ： 1 < p < ∞ に対して 、 古典 的 な { 仮 リンク | ヒルベルト 変換 | en | Hilbert transform } は Lp ( T , λ ) 上 で 定義 さ れる 。

ミュッケンハウプト の 定理 は 、 ヒルベルト 変換 が Lp ( T , w & thinsp ; d λ ) 上 で 有界 で あり 、 また 極大 作用素 が Lp ( Rn , w & thinsp ; d λ ) 上 で 有界 で ある よう な 重み w について 述べ て いる 。

チャーン 類 は 、 例えば リーマン・ロッホ の 定理 や アティヤ・シンガー の 指数 定理 を通して 、 線型 独立 な 切断 の 数 について いくつ か の 情報 を もたらす 。

例えば 、 髪の毛 の 生え た ボール を 串 で 完全 に とかす こと は でき ない という 定理 の よう な もの です （ { 仮 リンク | 毛 の 生え た ボール の 定理 | en | hairy ball theorem }( hairy ball theorem )）。

これ は 厳密 に 言う と 、 実 ベクトル バンドル （ ボール の 上 の ｢ 髪の毛 ｣ は 、 実際 に は 直線 の コピー で ある ） について の 質問 で ある に も 関わら ず 、 髪の毛 が 複素数 で ある 場合 、 あるいは 他 の 多く の 場 の 上 の 1 - 次元 射影 空間 に対し 、 一般 化 できる （ 以下 の 複素数 の 髪の毛 の ボール の 定理 の 例 を 参照 ） 。

ユークリッド 幾何 学 的 方法 と は 図形 を 直接 取り扱う 方法 で あり 、 補助 線 など を 用い て 基本 的 原理 で ある 公理系 や 定義 から 平面 ・ 空間 における 具体 的 かつ 幾何 学 的 な 命題 ・ 定理 を 証明 し て いく 方法 で あっ て 19 世紀 に は 総合 幾何 学 と も 呼ば れ た 。

初等 幾何 学 で 扱わ れる 対象 が 経験 的 かつ 直感 的 で ある ため この よう に 命名 さ れ た もの と 考え られ て いる が 、 数学 において 初等 と いえ ば 必ずしも やさしい など といった 意味 で は なく 、 歴史 的 に 最も 古い 分野 の 一つ で ある が 、 近代 において も 定理 が 発見 さ れ て いる ため 、 ユークリッド 原論 など によって 完成 さ れ た 分野 で は ない 。

総合 幾何 学 は 古典 的 な 射影 幾何 学 も 包含 し 、 初等 幾何 学 における 問題 は 何らかの 定理 や 命題 を 証明 する もの の ほか に 、 定規 と コンパス による 作図 問題 が 有名 で ある 。

可 測 性 と 弱 可 測 性 の 関係 について は 、 { 仮 リンク | ビリー・ジェームス・ペティス | label = ペティス | en | Billy James Pettis } の 定理 あるいは ペティス の 可 測 性 定理 として 知ら れる 、 次 の 結果 が 得 られ て いる 。

情報 理論 分野 で 重要 と さ れ て いる 標本 化 定理 を 、 クロード ・ シャノン と は 独立 に 証明 し た 。