四 色 定理 の 証明 は 、 これ と 対極 に ある もの として 若干 揶揄 を 込め て 「 エレファント ( 象 ) 」 な 証明 と も 言わ れ た 。
それどころか 完全 に 自然 言語 を 離れ て 、 プログラム に バグ が ない こと も 含め た 四 色 定理 の 証明 全体 を コンピュータ に 打ち込ん で 証明 検査 器 Coq に チェック さ せ た 仕事 が ある 。
また コンピュータ を 使う こと 以上 に 、 証明 の 構成 法 自体 が 四 色 定理 の 解決 に 特 化 さ れ て おり 、 他 の 問題 と の 関係 性 に 乏しい こと も 数学 者 の 間 で 人気 が ない 理由 と なっ て いる 。
シャノン ・ ハートレイ の 定理 は 、 情報 を 秘密 に し て おく 困難 さ を 示し て いる 。
熱 力学 第 一 法則 は 、 熱 力学 において は 基本 的 な 要請 として 認め られる もの で あり 、 理論 的 証明 の ない 経験 則 で ある が 、 たとえば ニュートン 力学 など における 、 他 の エネルギー 保存 の 法則 は 、 理論 的 に 導か れる 数学 的 な 定理 で ある 。
一致 する か どう か は 、 テイラー の 定理 における 剰余 項 { mvar | Rn } が 0 に 収束 する か どう か によって 判定 できる ; ここ で 剰余 項 { mvar | Rn } は 、 ある { math | c ∈ ( a , x )} が 存在 し て 、 と 書ける 。
停止 問題 を 拡張 し た ライス の 定理 で は 、 言語 が 特定 の 自明 な 特性 を 持つ か どう か は ( 一般 に ) 判定 不能 で ある と さ れる 。
現在 発見 さ れ て いる NP 完全 問題 の 多く が この 定理 によって 充足 可能 性 問題 より 導か れ た もの で ある 。
テイラー の 定理 ( テイラー の て いり 、 Taylor ' s theorem ) と は 、 微分 積分 学 における 定理 の 1 つ で 、 関数 を ある 1 点 における 高階 の 微分 係数 を 用い て 近似 する もの で ある 。
微分 積分 学 における 平均 値 の 定理 ( へ いきん ちの て いり 、 mean - value theorem ) と は 、 ある 区間 全体 における 変化 率 や 面積 の 平均 値 を 、 瞬間 的 に ( 局所 的 に ) 実現 する 点 が 区間 内 に 存在 する こと を 示す 代表 的 な 存在 定理 の 一つ で ある 。
単に 「 平均 値 の 定理 」 と 言っ た 場合 は 、 ラグランジュ の 平均 値 の 定理 を 指す が 、 ここ で は それ 以外 の コーシー の 平均 値 の 定理 、 ロピタル の 定理 ( ベルヌーイ の 定理 ) 、 積分 の 第 一 平均 値 定理 、 第 二 平均 値 定理 について も 説明 する 。
平均 値 の 定理 は 、 微分 や 積分 を通して 関数 の 局所 的 な 振る舞い と 大域 的 な それ と を 結び付ける もの で ある 。
平均 値 の 定理 に は いくつ か バリエーション が ある が 、 単に 「 平均 値 の 定理 」 と 言っ た 場合 は 、 ラグランジュ の 平均 値 の 定理 と 呼ば れる 微分 に関する 平均 値 の 定理 の こと を 指す 場合 が 多い 。
平均 値 の 定理 は 微積分 学 の 他 の 定理 の 証明 ( 例えば 、 テイラー の 定理 、 微分 積分 学 の 基本 定理 ) に しばしば 利用 さ れる 、 大変 有用 な もの で ある 。
平均 値 の 定理 の 証明 自体 に は ロル の 定理 を 用いる 。
その 一方 で 、 平均 値 の 定理 は そのまま 多 変数 の 関数 に 適用 する こと は でき ない 。
また 、 もっと 弱い 条件 の 元 で も 同じ 定理 が 成り立つ 。
その他 種々 の 理由 から 、 平均 値 の 定理 を 使う こと 避ける 数学 者 も いる 。
多 変数 関数 に も 使え て 、 平均 値 の 定理 の 代わり に なる よう な 定理 として 、 有限 増 分 不等式 が ある 。
あるいは 、 積分 を 持ち込ん で 微積分 学 の 基本 定理 で 代用 する こと も ある 。