AC は 任意 の 集合 が 整列 可能 で ある こと を 述べ た 整列 可能 定理 と 同値 で ある から 、 AC から 無限 集合 は デデキント 無限 集合 で ある という こと が 簡単 に 導か れる 。

この よう に し て 、 ウィグナー の 定理 に従い 、 T は ユニタリ か もしくは 反 ユニタリ で ある 。

数学 の 線型 代数 学 の 分野 における ペ ロン ＝ フロベニウス の 定理 （ ペ ロン ＝ フロベニウス の て いり 、 Perron - Frobenius theorem ） と は 、 { 仮 リンク | オスカー・ペロン | en | Oskar Perron } と ゲオルク・フロベニウス によって 証明 さ れ た 定理 で 、 成分 が 正 で ある 実 正方 行列 に は 唯 一つ の 最大 実 固有値 が 存在 し 、 それ に 対応 する 固有ベクトル の 各 成分 は 厳密 に 正 で ある 、 という 主張 が 述べ られ て いる 。

この 定理 は 様々 な 方面 へ と 応用 さ れ 、 確率 論 （{ 仮 リンク | エルゴード 性 | en | ergodicity } や マルコフ 連鎖 ） や 、 力学 系 の 理論 （{ 仮 リンク | 有限 タイプ の サブ シフト | en | subshift of finite type }）、 経済 学 （ 置塩 の 定理 、 レオンチェフ の 産業 連関 表 ） 、 人口 学 （{ 仮 リンク | レ スリー 行列 | label = レ スリー の 人口 年齢 分布 モデル | en | Leslie matrix }） や 、 インターネット 検索 エンジン から フットボール チーム の ランキング に 至る まで 、 その 応用 範囲 は 幅広い 。

ペ ロン ＝ フロベニウス の 定理 は 、 A を 非負 の 実 正方 行列 と し た とき の その よう な 支配 的 な 固有値 と 、 それ に 対応 する 固有ベクトル の 性質 について 述べ た もの で ある 。

したがって 、 非負 行列 に対して は 、 正 行列 に対する 定理 の ほとんど の 性質 が 成立 し ない よう に 思える が 、 フロベニウス は その 解決 策 と なる 概念 を 発見 し た の で ある 。

正 行列 に対する ペ ロン ＝ フロベニウス の 定理 の 全て の 内容 は 、 原始 的 な 行列 に対して も 依然として 真 で ある 。

しかし 、 一般 的 な 非負 既 約 行列 A は 、 A の スペクトル 半径 と 絶対 値 が 等しく なる よう な 固有値 を 複数個 持つ こと も あり 、 したがって 正 行列 に対する 定理 も 状況 に 応じ て 修正 する 必要 が ある 。

したがって 、 A の スペクトル に関する 性質 の 多く は 、 既 約 な Bi に対して ペ ロン ＝ フロベニウス の 定理 を 適用 する こと により 、 得る こと が 出来る 。

この よう な 行列 は 必ずしも 既 約 で は ない ため 、 ペ ロン ＝ フロベニウス の 定理 を 直接的 に 適用 する こと は 出来 ない 。

ペ ロン ＝ フロベニウス の 定理 は 、 特に { 仮 リンク | 代数 的 グラフ 理論 | en | algebraic graph theory } において よく 用い られる 。

その よう な 行列 の 基礎 グラフ が 強 連結 で ある なら 、 その 行列 は 既 約 で あり 、 したがって ペ ロン ＝ フロベニウス の 定理 を 適用 する こと が 出来る 。

ペ ロン ＝ フロベニウス の 定理 は 、 有限 マルコフ 連鎖 の 理論 において も 自然 に 利用 さ れ て いる （ その 理論 において は 、 連鎖 の 遷移 行列 に関して 形成 さ れる 定常 分布 へ の 、 既 約 な 有限 マルコフ 連鎖 の 収束 について の 行列 理論 的 な 同値 性 が 見 られる 。

より 一般 的 に 、 有限 次元 の 行列 と 類似 性 が 多く 見 られる よう な 、 非負 コンパクト 作用素 へ と 定理 を 拡張 する こと が 出来る 。

温度 グリーン 関数 は 先進 ・ 遅延 グリーン 関数 より 抽象 的 で ある が 、 摂動 展開 が ウィック の 定理 によって 単純 な 形 に なる ため よく 用い られる 。

Seymour の 定理 で は 、 ある 行列 が 全 ユニ モジュラ 行列 で ある ため の 必要 十 分 条件 は 、 それ が ある ネットワーク 行列 の 自然 な 組み合わせ で あり 、 ある 5 × 5 全 ユニ モジュラ 行列 の コピー で ある こと 、 という こと が 述べ られ て いる 。

テューキー の 検定 の 帰 無 仮説 は 、 比較 さ れる 全て の 平均 が 同じ 母集団 に 属する （ すなわち μ 1 = μ 2 = μ 3 = ... = μ n ） という もの で ある ため 、 （ 中心 極限 定理 により ） 平均 は 正規 分布 し なけれ ば なら ない 。

また 、 方程式 論 の 研究 も 行い 、 ガロア 理論 に 初期 の 説明 を 与え た ほか 、 弾性 力 理論 の 帰結 として の 相 反作用 の 定理 （: en : Betti ' s theorem ） を 発見 し た 。

リンク 機構 へ の 瞬間 中心 の 応用 例 として 、 3 瞬間 中心 の 定理 （ ケネディ の 定理 と も 言う ） など が 知ら れ て いる 。

一般 の 場合 は 、 ディリクレ 単数 定理 によって 、 K の 整数 環 の 単数 群 は 無限 群 で ある 。