1910 年 に この 等式 が 発見 さ れる と 、 スツルム の 1836 年 の 元々 の 証明 で は 多く の ページ を 必要 と し て い た スツルム の 比較 定理 に対し 、 ほとんど 直ちに 示さ れる 証明 が 与え られる など 、 研究 の 発展 に 大いに 寄与 し た 。

これ は 中点 連結 定理 から 容易 に 導か れる 。

三角 多項式 は 、 ストーン ＝ ワイエルシュトラス の 定理 に 基づい た 特別 な 場合 における 一様 ノルム 下 { harv | Rudin | 1987 | loc = Thm 4 . 25 } で 、 単位 円 の 連続 し た 空間 における 稠密 集合 で ある と する の が 基本 的 な 結果 で ある 。

フェイェール の 定理 は 、 フーリエ 級数 & fnof ; の 部分 和 の 算術 平均 は 一律 に & fnof ; に 収束 する 、 それ 故に 三角 多項式 T の 近似 式 を 発見 する の に 明確 な 方法 を 与える と 説明 し て いる 。

これら の 基本 的 な 事実 は 、 後述 の スペクトル 定理 の 証明 において 重要 な 役割 を 果たす 。

定理 実 あるいは 複素 ヒルベルト 空間 H 上 の すべて の コンパクト な 自己 共役 作用素 T に対し 、 T の 固有ベクトル から なる H の 正規 直交 基底 が 存在 する 。

これ が スペクトル 定理 で ある 。

n × n エルミート 行列 に対する スペクトル 定理 の 証明 は 、 ある 固有ベクトル x の 存在 を 示す こと に かかっ て いる 。

コンパクト 自己 共役 の 場合 の スペクトル 定理 も 同様 に 得る こと が 出来る 。

これ が 数学 的 な 場合 の スペクトル 定理 の 証明 の 要点 と なる 。

以上 より 、 スペクトル 定理 の 証明 は 完成 さ れる 。

{ 仮 リンク | マーサー の 定理 | en | Mercer ' s theorem } により 、 級数 が K ( x , y ) に 各 点 収束 する ため の 条件 、 および [ 0 , 1 ] 2 上 で 一様 収束 する ため の 条件 が 得 られる 。

その 理由 は 、 ボーチャーズ の 定理 が 、 ｇ が 恒等 元 として 設定 さ れ て いる とき の 場合 に 関係 し て いる から で ある 。

複素 K 3 曲 面 に対して は 、 周期 写像 が 存在 し 、 { 仮 リンク | トレリ の 定理 | en | Torelli theorem }( Torelli theorem ) が 成り立つ 。

定理 : 上記 ( 1 )-( 2 ) の システム において 、 次 の 条件 を 仮定 する 。

量子 異常 （ り ょうしいじょう 、 quantum anomaly ） と は 、 量子 化 し た 理論 において 、 古典 論 における 一般 的 な 考察 から 予想 さ れる 定理 が 成り立た なく なる こと で ある 。

この 事実 は 、 関数 解析 学 の 開 写像 定理 より 直接的 に 導か れる 。

定理 有界 作用素 T に対して 、 σ r ( T ) ⊂ σ p ( T *) ⊂ σ r ( T ) ∪ σ p ( T ) が 成立 する 。

特に 、 スペクトル 定理 より 、 ヒルベルト 空間 上 の 正規 作用素 は 剰余 スペクトル を 持た ない こと が 分かる 。

回帰 性 と 上述 の 定理 を 思い起こせ ば 、 開 単位 円 板 は T * の 剰余 スペクトル に 含ま れる と 結論 付ける こと が 出来る 。