定理 の 主張 は D = B ( 0 ) に対して は 成り立つ 。

ゆえに λ ( 1 ) は k 枚 の 円 板 の 合併 に 属し 、 定理 は 証明 さ れ た 。

ゲルシュゴリン の 定理 は 条件 数 の 大きな 行列 A に対する Ax = b ( b は ベクトル ) の 形 の 方程式 を x について 解く とき に 有用 で ある 。

ゲルシュゴリン の 定理 により 、 PA の 任意 の 固有値 は どの 領域 に ある の か わかっ て いる から 、 P を どの よう に 選べ ば よい か を 大まか に 評価 する こと が できる 。

微分 幾何 学 における ガウス の 驚異 の 定理 （ き ょういのていり 、 ラテン語 : Theorema Egregium ） と は 、 カール ・ フリードリヒ・ガウス により 証明 さ れ た 曲面 の 曲 率 に関する 定理 で ある 。

本 定理 に よる と 、 曲面 の ガウス 曲 率 は 曲面 上 で 測定 さ れる 角度 や 距離 など の 量 のみ で 表す こと が でき 、 曲面 の 周囲 の 3 次元 ユークリッド 空間 へ の 「 { 仮 リンク | 埋め込み | en | Embedding }」 に関する いかなる 情報 も 必要 と し ない 。

この 定理 が 「 驚異 」 的 で ある 理由 は 、 後述 する よう に ガウス 曲 率 の 定義 は 空間 内 における 曲面 の 外在 的 な 情報 （ 曲面 に 直交 する 法 ベクトル ） を 使用 し て いる に も 関わら ず 、 最終 的 に は ガウス 曲 率 は 空間 内 へ の 埋め込み に関する 外在 的 な 情報 を 必要 と せ ず 、 内在 的 な 量 のみ で 求め られる こと で ある 。

距離 化 可能 性 の ため の 十分 条件 のみ を 与える ウリ ゾーン の 距離 化 定理 と は 異なり 、 この 定理 で は 位相 空間 が 距離 化 可能 で ある ため の 十分 条件 と 必要 条件 の いずれ も が 与え られ て いる 。

定理 の 名 は 数学 者 の 長田 潤一 と ユーリ ・ スミルノフ に ちなむ 。

距離 化 可能 性 の ため の 十分 条件 のみ を 与える ウリ ゾーン の 距離 化 定理 と は 異なり 、 この 定理 で は 位相 空間 が 距離 化 可能 で ある ため の 必要 条件 と 十 分 条件 の いずれ も が 与え られ て いる 。

この 定理 は 1951 年 に ビング によって 初めて 証明 さ れ た が 、 同じ 頃 長田 潤一 （ 1950 ） および ユーリ ・ スミルノフ （ 1951 ） によって 独立 に 証明 さ れ た 長田 ＝ スミルノフ の 距離 化 定理 において も 発見 さ れ た 。

それら の 定理 は しばしば 、 一 まとめ に ビング ＝ 長田 ＝ スミルノフ の 距離 化 定理 と 呼ば れる 。

この 定理 は 他 の 距離 化 定理 を 証明 する 上 で 用い られる こと が 多い 。

例えば 、 collectionwise normal な { 仮 リンク | ムーア 空間 ( 位相 幾何 学 )| label = ムーア 空間 | en | Moore space ( topology )} は 距離 化 可能 で ある と 述べ た ムーア の 距離 化 定理 など は 、 この 定理 の 直接的 な 帰結 で ある 。

様々 な 設定 の 下 で 、 不動点 の 存在 を 保証 する 種々 の 不動点 定理 が 知ら れ て おり 、 例えば { 仮 リンク | バナッハ の 不動点 定理 | en | Banach fixed point theorem } や { 仮 リンク | ブラウワー の 不動点 定理 | en | Brouwer fixed point theorem } など を 挙げる こと が できる 。

ハイネ・ボレル の 被覆 定理 より 、 S が 閉 かつ 有界 で ある こと を 示せ ば 十分 で ある 。

実際 、 この 事実 は 前述 の 定理 1 で 証明 さ れ て いる 。

3 . 定理 2 の 証明 は 、 非負 の 加法 的 測度 は 単調 で ある という 事実 に 大きく 依存 し て いる こと に 注意 さ れ たい 。

数学 の 函数 解析 学 における ウェブ 付き 空間 （ ウェブ つき くう かん 、 webbed space , Räume mit Gewebe ） は 、 バナッハ 空間 論 における 二つ の 主要 定理 で ある 開 写像 定理 と 閉 グラフ 定理 を 超 有界 型 空間 に対して 一般 化 し て 取り扱う ため の 概念 で 、 その ため の もの として 1969 年 に Marc de Wilde が 導入 し た 。

一般 に ウェブ 付き 空間 から 超 有界 型 空間 へ の 線型 写像 の 成す 空間 において 、 閉 グラフ 定理 と 開 写像 定理 が 証明 できる 。