双対 的 に 余 イコライザー と 余 積 を 使っ た 余 極限 の 存在 定理 も 同様 に 成り立つ 。

これら の 定理 は J の 形 の 全て の ( 余 ) 極限 が 存在 する こと の 十分 条件 で は ある が 、 必要 条件 で は ない 。

C が 完備 圏 で ある なら ば 、 上記 の 極限 の 存在 定理 により 、 関 手 G : C → D が 連続 で ある こと は 、 ( 小さい ) 積 と イコライザー を 保存 する こと と 同値 と なる 。

ジョルダン・ヘルダー の 定理 より 、 一つ の 組成 列 が 上記 の 性質 を 持つ 場合 、 すべて の 組成 列 は 同様 に 上記 の 性質 を 持つ こと が 保証 さ れる 。

S 5 は 組成 列 { E ( 自明 な 群 ), A 5 , S 5 } を 持ち ( そして ジョルダン・ヘルダー の 定理 より 全て の 組成 列 は これ と 同値 )、 因子 群 は それぞれ A 5 、 C 2 と 同型 で ある が 、 A 5 は アーベル 群 で は ない ため で ある 。

この 事実 は 、 n > 4 に対して n 次 の 代数 方程式 で あっ て 冪 根 で 解け ない もの が ある という アーベル - ルフィニ の 定理 の 証明 の キー と なる ステップ で ある 。

この 性質 は 計算 複雑 性 理論 において も { 仮 リンク | バーリントン の 定理 | en | Barrington ' s theorem } の 証明 で 使わ れ て いる 。

手法 が 一貫 し て いる こと に 加え て 、 普遍 代数 学 は 深い 定理 や 重要 な 例 や 反例 も 与え て くれる 。

普遍 代数 学 以前 に も さまざま な 定理 （ 最も 顕著 な もの は 同型 定理 ） が それぞれ の 分野 において 個別 に 証明 さ れ て き た けれども 、 普遍 代数 学 を 用いれ ば それら は 一 度 に 他 の 任意 の 代数 系 に対して も 証明 でき て しまう 。

圏 論 は 普遍 代数 学 が カバー し て い ない 多く の 状況 に まで 適用 でき て 、 さまざま な 定理 が その 範囲 を 拡張 さ れる 。

逆 に 、 普遍 代数 学 において 成立 する 多く の 定理 が すべて 圏 論 における もの へ 一般 化 さ れる わけ で も ない 。

1935 年 から 1950 年 の 間 の 期間 に 、 バーコフ の 論文 に 示唆 さ れ た 路線 に 沿っ た 多く の 論文 が 書か れ 、 自由 代数 や 合同 、 部分 代 数 束 、 準 同型 定理 など が 扱わ れ た 。

この f が 連続 なら ば 、 この 不動点 は ⊥ の 反復 列 (⊥, f (⊥), f ( f (⊥)), … fn (⊥), … ) の 上限 に 等しい （{ 仮 リンク | クリーネ の 不動点 定理 | en | Kleene fixpoint theorem } も 参照 ） 。

ランク が 有限 で ある という 事実 は 、 { 仮 リンク | フランシス・セヴィリ | en | Francesco Severi }( Francesco Severi ) の 基底 定理 ( theorem of the base ) で ある 。

リース の 表現 定理 に よれ ば 、 ヒルベルト 空間 の 連続 的 双対 は ふたたび ヒルベルト 空間 を 成し 、 元 の 空間 と { 仮 リンク | 反 同型 | en | antiisomorphic | label = 逆転 同型 } に なる 。

また ハーン・バナッハ の 定理 から いくつ か の 転置 写像 の 性質 が 導か れる 。

これ は { 仮 リンク | アルツェラ・アスコリ の 定理 | en | Arzelà – Ascoli theorem } を 用い て 証明 できる 。

しかし V が ハウスドルフ かつ 局所 凸 なら ば 写像 Ψ は V から その 連続 的 双対 の 代数 的 双対 V ′∗ へ の 単 射 と なる こと が 、 ふたたび ハーンバナッハ の 定理 の 帰結 として 得 られる 。

数学 の 、 特に 線型 代数 学 や 函数 解析 学 の 分野 において 、 スペクトル 定理 （ スペクトル て いり 、 spectral theorem ） と は 、 線型 作用素 あるいは 行列 に関する 多く の 結果 で ある 。

大雑把 に 言う と 、 スペクトル 定理 は 、 作用素 あるいは 行列 が 対 角 化 可能 （ すなわち 、 ある 基底 において 対 角 行列 として 表現 可能 ） と なる 条件 を 与える もの で ある 。