一般 に スペクトル 定理 は 、 乗算 作用素 によって 出来る 限り 簡単 に モデル 化 さ れる 線型 作用素 の クラス を 明らか に する もの で ある 。

より 抽象 的 に 、 スペクトル 定理 は 可 換 な C *- 環 に関して 述べ た もの で ある 。

スペクトル 定理 が 適用 できる 作用素 の 例 として 、 自己 共役 作用素 や 、 より 一般 の ヒルベルト 空間 上 の 正規 作用素 など が ある 。

スペクトル 定理 は また 、 スペクトル 分解 （ spectral decomposition ） や 固有値 分解 （ eigenvalue decomposition ） 、 { 仮 リンク | 行列 の 固有 分解 | label = 固有 分解 | en | eigendecomposition of a matrix }（ eigendecomposition ） と 呼ば れる よう な 、 作用素 の 定義 さ れる ベクトル 空間 の { 仮 リンク | 正 準 形 | label = 正 準 分解 | en | canonical form } を 与える もの で ある 。

オーギュスタン ＝ ルイ ・ コーシー は 、 自己 随伴 行列 に関する スペクトル 定理 を 証明 し た 。

その 定理 の ジョン ・ フォン ・ ノイ マン による 一般 化 は 、 今日 の 作用素 論 における もっとも 重要 な 結果 と なっ て いる 。

この 記事 で は 主 に 、 ヒルベルト 空間 上 の 自己 共役 作用素 に関する 、 最も 簡単 な 種類 の スペクトル 定理 について 述べる 。

しかし 、 上記 の よう に 、 スペクトル 定理 は ヒルベルト 空間 上 の 正規 作用素 について も 成立 する もの で ある 。

定理 ： A の 固有値 で 構成 さ れる V の ある 正規 直交 基底 が 存在 する 。

スペクトル 定理 は また 、 有限 次元 の 実 内積 空間 の 上 の 対称 写像 に対して も 成立 する 。

しかし その 場合 、 固有ベクトル の 存在 は 代数 学 の 基本 定理 から は 直ちに 従わ ない 。

スペクトル 定理 は 、 より 一般 の 行列 の クラス に対して も 拡張 できる 。

一般に ヒルベルト 空間 において 、 コンパクト な 自己 共役 作用素 に対する スペクトル 定理 の 内容 は 、 有限 次元 の 場合 と 実質 的 に 同じ で ある 。

定理 A を ある ヒルベルト 空間 V 上 の コンパクト な 自己 共役 作用素 と する 。

そうして 上述 の スペクトル 定理 は 、 実 あるいは 複素 ヒルベルト 空間 に対して も 成立 する 。

考え られ て いる 正規 作用素 が コンパクト で ある なら 、 この よう な スペクトル 定理 は 上述 の 有限 次元 の スペクトル 定理 に 帰着 さ れる 。

その よう な 非 有界 の 場合 の 自己 共役 作用素 に対する スペクトル 定理 も 存在 する 。

一般 に 、 自己 共役 作用素 に対する スペクトル 定理 に は 、 同値 な いくつ か の 形式 が 存在 する 。

乗算 作用素 の 形式 における スペクトル 定理 ある ヒルベルト 空間 H における 各 自己 共役 作用素 T に対し 、 H から 空間 L 2 ( M , μ ) へ の 上 へ の 等 長 同型 を なす ある ユニタリ 作用素 が 存在 し 、 T は その 空間 L 2 ( M , μ ) において 乗算 作用素 として 表現 さ れる 。

（ 射影 直線 を 除い て ） この こと の 逆 は 、 { 仮 リンク | 射影 幾何 学 の 基本 定理 | en | fundamental theorem of projective geometry } で ある 。