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内容 を 解釈 し 直す と 、 この 定理 で は すべて の 局所 可 積分 函数 は ある 絶対 連続 測度 を 定義 し 、 逆 に すべて の 絶対 連続 測度 は ある 局所 可 積分 函数 を 定義 する こと が 主張 さ れ て いる 。

これ は また 、 抽象 的 測度 論 の 枠組み において 、 Stanisław Saks の 学術 論文 で 与え られ た 重要 な ラドン = ニコディム の 定理 として 現れる 。

さらに 局所 可 積分 函数 は 、 全て の 測度 の 絶対 連続 な 部分 を 特徴付ける こと によって 、 ラドン = ニコディム の 定理 に も 現れる 。

曲線 の 対応 に対し 、 さらに 一般 的 な 公式 で ある ツォィタン の 定理 ( Zeuthen ' s theorem ) が あり 、 この 定理 は オイラー 標 数 が 対応 の 次数 の 逆 非 で ある という 第 一 番目 の 近似 を 分岐 を 紙 し た 修正 と なっ て いる 。

たとえば ピタゴラス の 定理 が 成り立つ こと は 、 せん断 写像 を 用い て 図示 する こと が できる 。

この 定理 の 名 は 、 1913 年 に 空間 { math | RN } で の 特別 な 場合 について 証明 を 与え た { 仮 リンク | ヨハン・ラドン | en | Johann Radon } と 、 1930 年 に 一般 の 場合 の 証明 を 与え た { 仮 リンク | オットー・ニコディム | en | Otto Nikodym } に 由来 する 。

1936 年 に { 仮 リンク | ハンス・フロイデンタール | en | Hans Freudenthal } は 、 この 定理 を 特別 な 場合 として 含む 、 リース 空間 で の 一 結果 で ある フロイデンタール の スペクトル 定理 を 証明 する こと によって 、 その 結果 の 更 なる 一般 化 に 成功 し た 。

この 定理 は 確率 論 における アイデア を 、 実数 上 で 定義 さ れる 確率 質量 および 確率 密度 から 、 任意 の 集合 上 で 定義 さ れる 確率 測度 へ と 拡張 する 上 で 非常 に 重要 と なる 。

その他 の 分野 で は 、 数理 ファイナンス において この 定理 は 広く 用い られ て いる 。

ラドン = ニコディム の 定理 で は 、 { mvar | ν } の 変化 の 割合 を 計算 する ため の 測度 { mvar | μ } は { mvar | σ }- 有限 で ある と 仮定 さ れ て い た 。

ここ で は 、 その { mvar | μ } が { mvar | σ }- 有限 で ない とき に は ラドン = ニコディム の 定理 が 成立 し ない こと を 示す 。

この 節 で は 、 ラドン = ニコディム の 定理 の 測度 論 的 な 証明 を 紹介 する 。

単調 収束 定理 の 下 で 、 その よう な すべて の 函数 の 上限 は ラドン = ニコディム 微分 を 与える 。

フーリエ 変換 における 中央 断面 定理 が 、 投影 像 から の 3 次元 像 の 再 構成 が 可能 で ある こと を 理解 し やすい 形 で 示し て いる 。

数学 における フロイデンタール の スペクトル 定理 ( フロイデンタール の スペクトル て いり 、 Freudenthal spectral theorem ) と は 、 1936 年 に { 仮 リンク | ハンス・フロイデンタール | en | Hans Freudenthal } によって 証明 さ れ た リース 空間 論 の 一 結果 で ある 。

大まか に 言う と 、 主 射影 性 ( principal projection property ) を 備える リース 空間 内 の ある 正 元 によって 支配 さ れる 任意 の 元 は 、 ある 意味 において 単 関数 により 一様 に 近似 できる 、 という こと が 述べ られ て いる 定理 で ある 。

ここ で の 基本 的 結果 の 一つ に 、 周 の 定理 が あり 、 この 定理 は 、 複素 射影 空間 の 全て の 解析 的 部分 多様 体 は 代数 多様 体 で ある という 定理 で ある 。

この 定理 は 、 ある 増加 条件 を 満たす 正則 函数 ( holomorphic function ) は 必然 的 に 代数 的 で ある と 言っ て いる とも 解釈 できる 。

この 定理 から 次 の こと を 導く こと が できる 。

周 の 定理 は 、 GAGA の 例 で あり 、 セール ( Serre ) による 主要 な 定理 は 次 の とおり で ある 。