この ため 、 この 補間 定理 は 絵 を 用い て 表現 する こと が 出来る 。

補間 定理 は 、 { mvar | T } の リース 図 が 凸 集合 で ある こと を 述べ て いる 。

この 補間 定理 は 、 元々 リース ・ マルツェル によって 1927 年 に 証明 さ れ た 。

{ 仮 リンク | オロフ・ソリン | en | Olof Thorin } は その 残り の 部分 も 含め た 正方形 全体 に対して 補間 定理 を 拡張 し た 。

すると アダマール の 三 線 定理 によって 、 直線 { math | Re ( z ) {{=} θ }} 上 の { math | Φ } の 補間 的 な 上 界 を 得る こと が 出来る 。

プランシュレル の 定理 より 、 ヒルベルト 変換 は { math | L 2 ( R )} から それ 自身 へ の 有界 作用素 と なる 。

リース ＝ ソリ ン の 補間 定理 と その 変形 版 は 、 補間 さ れ た 作用素 ノルム に関する 明確 な 推定 を 与える 上 で 有用 な 道具 と なる 一方 、 それら に は 多く の 欠点 も 存在 する 。

はじめ に 、 リース ＝ ソリ ン の 補間 定理 の 証明 における 複素 解析 的 な 設定 により 、 スカラー 場 は { math | C } と さ れる こと に 注意 さ れ たい 。

より 深刻 な 問題 は 、 実際 、 { 仮 リンク | ハーディ ＝ リトル ウッド の 極大 函数 | label = ハーディ ＝ リトル ウッド 極大 作用素 | en | Hardy – Littlewood maximal function } や を 満たす もの で ある から 、 { 仮 リンク | マーシンキウィッツ の 補間 定理 | en | Marcinkiewicz interpolation theorem } の よう な 実 補間 定理 は それら に対して より 適切 な もの と なる 。

これ は 実 補間 定理 を 適用 する 上 で の 障害 で は ない が 、 複素 補間 定理 は 非 線型 作用素 を 扱う 上 で は 不十分 で ある 。

マーシンキウィッツ の 補間 定理 の 非 対 角 版 で は 、 { 仮 リンク | ローレンツ 空間 | en | Lorentz space } の 構成 が 求め られ 、 { math | Lp }- 空間 上 の ノルム 評価 は 必ずしも 得 られ ない 。

この 証明 は 、 クレイン ＝ ミル マン の 定理 に 基づく 。

数学 において 、 整数 点 について の ジーゲル の 定理 ( Siegel ' s theorem on integral points ) は 、 1929 年 の カール ・ ジーゲル ( Carl Ludwig Siegel ) の 結果 で あり 、 与え られ た 座標 系 を 持つ アフィン 空間 で 表現 さ れる 、 代数 体 K 上 定義 さ れ た 種 数 g の 滑らか な 代数 曲線 C に対し 、 g > 0 で あれ ば 、 K の 整数 環 O の 座標 で C 上 の 点 は 有限 個 しか ない という 定理 で ある 。

この 定理 の 証明 は 、 ディオファントス 近似 から の トゥエ・ジーゲル・ロス の 定理 の ある バージョン と { 仮 リンク | ディオファントス 幾何 学 | en | diophantine geometry }( diophantine geometry ) から の モーデル・ヴェイユ の 定理 と を 結合 する こと により 得 られ た 。

種 数 g > 1 の 場合 は 、 現在 、 ファルティングス の 定理 に 取っ て 代わら れ た 。

この ため 、 ポテンシャル 論 について 論じる 時 は 、 三 次元 あるいは より 高 次元 に対して も 成立 する 定理 に 焦点 を 置く こと と なる 。

この 関係 から 、 複素 解析 において 元々 発見 さ れ て い た 多く の 結果 や 概念 （ シュワルツ の 補題 や モレラ の 定理 、 カゾラーティ・ワイエルシュトラス の 定理 、 ローラン 級数 や 、 可 除 特異 点 ・ 極 ( 複素 解析 ) ・ 真性 特異 点 へ の 特異 点 の 分類 など ） は 、 任意 の 次元 の 調和 函数 に関する 結果 へ と 一般 化 さ れる という 驚く べき 事実 が 得 られる 。

複素 解析 における どの 定理 が 、 任意 の 次元 の ポテンシャル 論 における 定理 の 特別 な 場合 で ある か 考える こと で 、 二 次元 複素 解析 において 実際 何 が 特別 で 、 何 が より 一般 的 な 結果 の 特殊 例 で ある か という こと に関する 直感 を 得る こと が 出来る 。

ことに よる と 局所 挙動 に関する 最も 基本 的 な 結果 は 、 調和 函数 は 解析 的 で ある と 述べ た 、 ラプラス 方程式 に対する 正則 性 定理 で ある かも 知れ ない 。

また 正 の 調和 函数 の 孤立 特異 点 の 挙動 を 特徴付け た { 仮 リンク | ボッチャー の 定理 | en | Bôcher ' s theorem } も ある 。