{ harvtxt | Fremlin | 2003 } は 、 トネリ の 定理 の いくつ か の 非 σ - 有限 空間 へ の 拡張 が 与え られ て いる が 、 それ は 幾分 技術 的 な もの で ある 。

非負 函数 の 負 の 部分 は ゼロ で あり 、 積分 は 有限 と なる こと から 、 その よう な 置き換え は トネリ の 定理 を 含む もの で ある こと が 分かる 。

フビニ の 定理 に対して フビニ ＝ トネリ の 定理 を 用いる こと の 利点 は 、 絶対 値 | f | の 逐次 積分 は 二 重 積分 より も 容易 に 研究 できる こと が ある こと で ある 。

フビニ の 定理 における よう に 、 単一 の 積分 は 測度 0 の 集合 上 で 定義 さ れ ない こと も ある 。

上述 の フビニ および トネリ の 定理 は 、 ルベーグ 測度 を 伴う 実数 直線 R 同士 の 積 の 上 で の 積分 に対して 適用 でき ない という 厄介 な 問題 が ある 。

この 理由 により 、 完備 測度 に対する フビニ の 定理 の 変形 版 が しばしば 用い られる 。

上述 の もの と 似 た フビニ の 定理 の 変形 版 は 多く 存在 する が 、 それら に は 以下 の よう な いくつ か の 小さな 差異 が 見 られる ： フビニ および トネリ の 定理 の 証明 は 、 σ - 有限 性 に 関連 する 仮定 を 用いる ため 、 必然 的 に 幾分 技巧 的 な もの と なる 。

ほとんど の 証明 で は 、 以下 に 述べる よう な 徐々に 複雑 に なっ て いく 函数 に対して 定理 の 成立 を 示す こと で 、 最終 的 に すべて を 示す 方針 を 採っ て いる 。

次 の 例 で は 、 フビニ の 定理 および トネリ の 定理 の いくつ か の 仮定 が 満たさ れ ない とき 、 どの よう に し て 定理 が 成立 し ない か を 示す 。

この こと は 、 積 測度 が どの よう に 選ば れ た として も 、 σ - 有限 で ない 空間 に対して は トネリ の 定理 は 成立 し ない こと を 意味 する 。

その 測度 は いずれ も { 仮 リンク | 分解 可能 測度 | label = 分解 可能 | en | decomposable measure } で あり 、 トネリ の 定理 は （ σ - 有限 測度 より も やや 一般 的 で ある ） 分解 可能 測度 に対して は 成立 し ない こと が 示さ れる 。

たとえ σ - 有限 で ない 空間 で あっ て も 、 極 大積 測度 が 用い られる なら 、 フビニ の 定理 は 成立 する 。

実際 、 上記 の 例 において 極 大積 測度 を 考える と 、 対 角 は 無限 測度 を 持ち 、 したがって | f | の 二 重 積分 は 無限 大 と なる ため 、 （ 空虚 な 意味 で ） フビニ の 定理 は 成立 する 。

これ は フビニ の 定理 が 成立 し ない よう な 積 測度 の 例 で ある 。

この 函数 f は 非 可 測 で ある ため 、 これ は トネリ の 定理 が 非 可 測 函数 に対して 成立 し ない 例 と なる 。

上 の 例 の 変形 版 として 、 たとえ | f | が 可 積分 で いずれ の 逐次 積分 が well - defined で あっ て も 、 非 可 測 で あれ ば フビニ の 定理 が 成立 し ない こと が ある という 例 を 以下 に 挙げる ： f は E 上 で 1 で あり 、 E の 補 集合 上 で - 1 と する 。

ルベーグ 測度 を 伴う 二つ の 単位 区間 の 積 上 に対する フビニ の 定理 の より 強い 結果 において 、 函数 は もはや 可 測 で ある 必要 は なく 、 二つ の 逐次 積分 が well - defined で 存在 し て いれ ば よい が 、 その 結果 は 標準 的 な 集合 論 の { 仮 リンク | ツェルメロ ＝ フレンケル の 集合 論 | label = ツェルメロ ＝ フレンケル の 公理 | en | Zermelo – Fraenkel set theory } と は 独立 な もの で ある 。

連続 体 仮説 と マーティン の 公理 は いずれ も 、 逐次 積分 の 値 が 異なる よう な 単位 正方形 上 の 函数 が 存在 する こと を 意味 する が 、 { harvs | txt | last = Friedman | year = 1980 } は 、 それ は ZFC と 一致 し 、 [ 0 , 1 ] に対する 強 フビニ 型 定理 が 成立 し 、 二つ の 逐次 積分 が 存在 する なら それら は 等しく なる こと を 示し た 。

フビニ の 定理 に よれ ば 、 （ σ - 有限 測度 空間 の 積 上 の 可 測 函数 に対して ） 絶対 値 の 積分 が 有限 で ある なら 、 積分 の 順序 は 問題 に なら ない 。

この 定理 は 、 任意 の ハウスドルフ 空間 X および 可算 n - 基 を 持つ ハウスドルフ 空間 Y に対して も （ 空虚 な 意味 で ある こと も ある が ） 成立 する 。