左 原始 環 の 構造 は { 仮 リンク | ジャコブソン の 密度 定理 | en | Jacobson density theorem } によって 完全 に 決定 さ れる 。

測度 論 の 標準 的 な 定理 により 、 { math | Cc ( G )} の { math | L 1 ( G )}- ノルム による 完備 化 は ハール 測度 に関して 可 積分 な 函数 （ の ふつう は ハール 測度 零 の 集合 上 で のみ 異なる よう な 函数 を 同一 視 し た もの ） 全体 の 成す 空間 L 1 ( G )}} に 同型 で ある 。

彼 は ヒルベルト の 基底 定理 として 知ら れ て いる 重要 な 定理 を 証明 し た 。

この 定理 は 、 任意 の 体 上 の 多 変数 多項式 環 の 任意 の イデアル が 有限 生成 で ある こと を 述べ て いる 。

例えば 層 コホモロジー に 関連 する カルタン の 定理 A , B を 参照 さ れ たい 。

半 単純 多元 環 の 理論 は シューア の 補題 と アルティン・ウェダーバーン の 定理 を 基盤 と し て いる 。

定理 。

アルティン・ウェダーバーン の 定理 。

マシュケ の 定理 は { 仮 リンク | 有限 群 の 表現 論 | en | Representation theory of finite groups } における 定理 だ が 、 有限 群 の 群 環 の 半 単純 性 の 言葉 で 解釈 できる 。

マシュケ の 定理 。

1869 年 、 ジョルダン・ヘルダー の 定理 の 名前 で 知ら れる 有限 群 の 分解 列 の 存在 が 証明 さ れ た 。

この 定理 を 教える 可能 性 が ある 講義 は 2 つ ある 。

ハインリッヒ・マシュケ ( Heinrich Maschke ) は 、 クラ イン の 生徒 で あっ た が 、 彼 の 名 を 持つ 定理 を 証明 し た 最初 の 人 で ある 。

多元 環 は 加 群 の 構造 も また 持っ て いる から 加 群 の 分解 の 定理 を 適用 できる 。

ウェダーバーン の 定理 は 状況 を 修正 し 、 体 が アプリオリ に 非 可 換 で あっ た として も すべて の 単純 多元 環 に対し 自然 な 体 が 存在 する 。

したがって 定理 は 環 の 用語 で 表現 でき なけれ ば なら ない 。

1927 年 、 アルティン は 定理 の 最終 的 な 形 を 見つけ た 。

線型 形式 化 なし に 定理 は それ を 極大 範囲 に 連れ て 行き 、 それ は 非 可 換多 元 環 の 重要 な 結果 に なっ た 。

定理 は 最終 的 で ある が 、 逆 は 未 解決 の まま で あっ た 。

アルティン かつ ネーター な 環 の 他 の 環 の どの よう な クラス が 定理 を 満たす だろ う か ？ 最初 の 答え は 1939 年 に { 仮 リンク | ホプキンス・レヴィツキ の 定理 | en | Hopkins – Levitzki theorem } によって 与え られる ： Charles Hopkins と Jakob Levitzki は 降 鎖 の 条件 のみ が 必要 で ある こと を 証明 し た 。