半 原始 環 は 原始 環 の subdirect product として 理解 する こと が でき 、 それ は { 仮 リンク | ジャコブソン の 密度 定理 | en | Jacobson density theorem } によって 述べ られ て いる 。

ラドン ＝ ニコディム の 定理 の よう に 、 σ - 有限 測度 に対して は 真 と なる が 任意 の 測度 に対して は 真 と なら ない 定理 が 測度 論 に は いくつ か 存在 する 。

その よう な 定理 の いくつ か は 、 より 一般 の 分解 可能 測度 の 類 に対して も 真 と なる 。

しかしながら 、 ジョルダン – ヘルダー の 定理 （ カミーユ・ジョルダン と オットー・ヘルダー に ちなん で 名づけ られ た ） は 、 与え られ た 群 の 任意 の 2 つ の 組成 列 は 同値 で ある と 主張 する 。

この 定理 は { 仮 リンク | シュライヤー の 細分 定理 | en | Schreier refinement theorem } を 使っ て 証明 できる 。

ジョルダン – ヘルダー の 定理 は また 超 限 （ transfinite ） 増大 組成 列 について も 正しい が 、 超 限 減少 組成 列 に対して は 正しく ない { Harv | Birkhoff | 1934 }。

この 場合 、 （ 単純 ） 商 加 群 Jk + 1 / Jk は M の 組成 因子 として 知ら れ 、 ジョルダン - ヘルダー の 定理 が 成り立ち 、 組成 因子 として 単純 R - 加 群 の 各 同型 類 の 出現 の 数 は 組成 列 の 取り 方 に よら ない こと を 保証 する 。

ジョルダン - ヘルダー の 定理 の よう な 、 上記 の 標準 的 な 結果 は 、 ほとんど 同一 の 証明 によって 証明 さ れる 。

その よう な 結果 は ハルトークス の 定理 として 知ら れ て いる 。

PID 上 の 有限 生成 加 群 は PID 上 の 有限 生成 加 群 の 構造 定理 によって 分類 さ れる 。

標 数 0 の 体 上 の 群 環 は マシュケ の 定理 により 半 単純 な ので 、 直 既 約 加 群 と 単純 加 群 の 概念 は 一致 する 。

中国 剰余 定理 によって 、 この 環 は mod p の 整数 の 環 の 直積 に 分解 する （ p は n の 素因数 ） 。

これ は ベクトル 空間 の 次元 定理 で ある ） 。

これ は ヒルベルト の 基底 定理 と 似 て いる が 同じ で は ない 。

マーラー の コンパクト 性 定理 は 、 マン フォード によって 半 単純 リー 代数 へ と 一般 化 さ れ た 。

詳しく は { 仮 リンク | マン フォード の コンパクト 性 定理 | en | Mumford ' s compactness theorem } を 参照 さ れ たい 。

ジャン ＝ ピエール ・ セール による 定理 によって 、 大局 次元 は 可 換 ネーター 局所 環 の クラス において 正則 環 を 特徴 づける の に 使う こと が できる 。

この 定理 によって ホモロジー 的 手法 を 可 換代 数 に 応用 する 扉 が 開か れ た 。

数学 における マン フォード の コンパクト 性 定理 （ マン フォード の コンパクト せい て いり 、 Mumford ' s compactness theorem ） と は 、 「 ポアンカレ 計量 において ある 固定 さ れ た ε > 0 より も 長 さ が 小さい { 仮 リンク | 閉 測地 線 | en | Closed geodesic } を 持た ない 、 種 数 g > 1 の コンパクトリーマン 面 の 空間 は コンパクト で ある 」 という 定理 で ある 。

半 単純 リー 代数 の 離散 部分 群 の 集合 に関する 定理 の 帰結 として { harvs | txt | first = David | last = Mumford | authorlink = デヴィッド・マンフォード | year = 1971 } によって 証明 さ れ た 。