マーラー の コンパクト 性 定理 を 一般 化 する もの で あっ た 。

ディオファントス 近似 に 現れる クロネッカー の 定理 に よる と 、 一度 現れ た 任意 の 特定 の 形状 は 、 任意 の 特定 の 精度 の もと で 再び 現れる 。

可 換環 論 （ 次元 論 ） において 、 クルル の 単項 イデアル 定理 （ Krull ' s principal ideal theorem , Krulls Hauptidealsatz ） は 、 ネーター 環 の 素 イデアル の 高 さ について の 基本 的 な 定理 で ある 。

次 の 定理 は クルル の 高度 定理 （ Krull ' s height theorem ） と 呼ば れる 。

これ は ユークリッド 空間 から 任意 の 空間 へ の ハイネ・ボレル の 被覆 定理 の 一般 化 と 見なさ れる ： その 場合 、 有界 性 を 全 有界 性 に （ そして 閉性 を コンパクト 性 に ） 代える 必要 が ある 。

これら の 定理 を 組み合わせ て 、 ある 一様 空間 が 全 有界 で ある ため の 必要 十 分 条件 は 、 その 完備 化 が コンパクト で ある こと 、 という こと が 分かる 。

すると 、 ある 空間 が 全 有界 で ある ため の 必要 十 分 条件 は 、 それ が プレ コンパクト で ある こと 、 という 定理 が 得 られる （ この 方法 で 定義 を 分ける こと は 、 選択 公理 が 無い 場合 に 有用 と なる 。

素 元 に対する 関心 は 算術 の 基本 定理 から 来る 。

超越 基底 は 体 準 同型 について の 様々 な 存在 定理 を 証明 する ため の ツール として 役に立つ 。

例えば 、 ジーゲル による 定理 に よる と 、 X が コンパクト で 連結 な n 次元 複素 多様 体 で あり 、 K ( X ) が その 上 の （ 大域 的 に 定義 さ れ た ） 有理 型 関数 の 体 を 表し て いれ ば 、 trdegC ( K ( X )) ≤ n で ある 。

マッキー ＝ アレンス の 定理 で は 、 すべて の 双対 位相 は 弱 位相 より 細かく 、 マッキー 位相 より 粗い こと が 示さ れ て いる 。

数学 、 具体 的 に は 現代 代数 学 や 可 換環 論 において 、 中山 の 補題 （ Nakayama ' s lemma 、 クルル - 東屋 の 定理 （ Krull – Azumaya theorem ） とも ） は 、 環 （ 典型 的 に は 可 換環 ） の ジャコブソン 根基 と その 有限 生成 加 群 の 間 の 相互 関係 を 定める 。

可 換 の 場合 に は 、 補題 は ケイリー・ハミルトン の 定理 を 一般 化 し た 形 の 単純 な 帰結 で あり 、 これ は Michael Atiyah ( 1969 ) に 書か れ て いる 。

非 可 換 な とき の 右 イデアル に対する 補題 の 特別 な 場合 は { 仮 リンク | Nathan Jacobson | en | Nathan Jacobson } ( 1945 ) に あり 、 その ため 非 可 換 な 中山 の 補題 は ジャコブソン - 東屋 の 定理 ( Jacobson – Azumaya theorem ) と 呼ば れる こと も ある 。

つまり ： 上昇 定理 ( going up theorem ) は 本質 的 に 中山 の 補題 の 系 で ある 。

これ の 幾何 学 的 、 大域 的 な 対応 物 は Serre – Swan の 定理 で あり 、 射影 加 群 と 連接 層 を 関係 づける 。

数学 において 、 アッ クス – グロタンディーク の 定理 （ Ax – Grothendieck theorem ） は 単項式 の 単 射 性 と 全 射 性 について の 結果 で ある 。

定理 は しばしば 次 の 特別 な 形 で 述べ られる 。

定理 の 完全 な 形 は 代数 的 閉体 上 の 任意 の 代数 多様 体 に 一般 化 さ れる 。

グロタンディーク による 定理 の 証明 は 有限 体 と その 代数 的 閉包 に対する 同様 の 定理 を 証明 する こと に 基づい て いる 。