この 場合 定理 は 自明 な 理由 によって 正しい 。

F が 有限 体 の 代数 的 閉包 で ある とき 、 結果 は ヒルベルト の 零 点 定理 から 従う 。

それ ゆえ 複素数 に対する アックス – グロタンディーク の 定理 は 、 C 上 の 反例 が 仮に あっ た と すれ ば それから 有限 体 上 の ある 代数 拡大 における 反例 が 出る こと を 示す こと によって 証明 できる 。

定理 の 証明 は 他 に も ある 。

これ は ピカール の 定理 の 系 で ある 。

アッ クス – グロタンディーク の 定理 は エデン の 園 定理 の 証明 に 使う こと も できる 。

これ は アックス – グロタンディーク の 定理 の よう に 単 射 性 を 全 射 性 と 関係付ける 結果 で ある が 、 代数 的 な 分野 より という は むしろ セル ・ オートマトン における もの で ある 。

この 定理 の 直接的 な 証明 は 知ら れ て いる が 、 アッ クス – グロタンディーク の 定理 を 使っ た 証明 の 方 が { 仮 リンク | amenable group | en | Amenable group } に 作用 する オートマトン により 広く 拡張 する 。

次に 挙げる の は アックス – グロタンディーク の 定理 の 部分 的 な 逆 の いくつ か で ある 。

5 項 補題 は 2 つ の 他 の 定理 、 four lemmas を 合わせ た もの と 考える こと が できる 。

{ 仮 リンク | Mitchell の 埋め込み 定理 | en | Mitchell ' s embedding theorem } の おかげ で 、 証明 は 任意 の （ 小さい ） アーベル 圏 に も なお 適用 する こと が できる 。

これ は 任意 の 小さい アーベル 圏 は ある 環 上 の 加 群 の 圏 として 表現 可能 で ある という 定理 で ある 。

それ が 為さ れれ ば 、 定理 は アーベル 群 や 環 上 の 加 群 に対して 証明 さ れる 。

あるいは 、 { 仮 リンク | Mitchell の 埋め込み 定理 | en | Mitchell ' s embedding theorem } の 助け を 借り て も よい 。

一般に この よう な 空間 は 必ずしも ノルム 化 可能 で は ない が 、 零 ベクトル に対する 凸 局所 基 の 存在 は ハーン ＝ バナッハ の 定理 の 成立 を 保証 する 上 で 十分 に 強く 、 その 結果 として 連続 線型 汎 函数 に関する 豊富 な 理論 が もたらさ れ た 。

双対 セル 構造 の 概念 は 、 Henri Poincaré が 彼 の ポワンカレ 双対 定理 の 証明 において 用い た が 、 コホモロジー の アイデア の 起源 を 含ん で い た 。

1931 年 に 、 { 仮 リンク | Georges de Rham | en | Georges de Rham } は ホモロジー と 外 微分 形式 を 関連付け 、 { 仮 リンク | ドラーム の 定理 | en | De Rham ' s theorem | FIXME = 1 } を 証明 し た 。

1934 年 に 、 Lev Pontryagin は { 仮 リンク | ポントリャーギン の 双対 定理 | en | Pontryagin duality | FIXME = 1 } を 証明 し た 。

テオ・ビューラー は 2006 年 に 、 クレイン ＝ ミル マン の 定理 は CAT ( 0 ) 空間 に対して も 成立 する こと を 証明 し た 。

この こと は 中国 の 剰余 定理 と Z / kZ の 形 の 環 が 体 で ある こと と k が 素数 で ある こと が 同値 で ある こと から 従う 。