それら は 純 性 定理 を 多項式 環 に対して 証明 し た { harvs | txt | authorlink = Francis Sowerby Macaulay | first = Francis Sowerby | last = Macaulay | year = 1916 } と 、 純 性 定理 を 形式 的 冪 級数 環 に対して 証明 し た { harvs | txt | authorlink = Irvin S . Cohen | last = Cohen | year = 1946 } の ため に 名づけ られ て いる 。

すべて の Cohen – Macaulay 環 は 純 性 定理 が 成り立つ 。

等号 は 環 について の いくつ か の 面白い 正則 性 の 条件 を 提供 し て くれる ので 、 いくつ か の 強力 な 定理 を この わり と 一般 的 な 設定 において 証明 する こと が できる 。

環 A に対して 純 性 定理 ( unmixedness theorem ) が 成り立つ と は 、 イデアル I で あっ て ht ( I ) 個 の 元 で 生成 さ れる もの が すべて 純 で ある こと を いう 。

ネーター 環 が Cohen – Macaulay で ある こと と 純 性 定理 が 成り立つ こと は 同値 で ある 。

それら は 最初 一般 に 代数 トポロジー において { 仮 リンク | Künneth の 定理 | en | Künneth theorem } と 普遍 係数 定理 を 表現 する ため に 定義 さ れ た { Citation needed | date = December 2008 }。

クレイン ＝ ミル マン の 定理 は 局所 凸 位相 ベクトル 空間 に対して 述べ られ て いる 。

次 の 定理 は 、 ラドン ＝ ニコディム 性 を 持つ バナッハ 空間 に対して 述べ られる 。

ミンコフスキー による 有限 次元 クレイン ＝ ミル マン の 定理 は 、 k - 極点 の 概念 を 用い て すばやく 証明 する こと が 出来る 。

この 定理 で は 、 p は 極点 の 凸 結合 で ある こと が 主張 さ れ て いる 。

以後 、 帰納的 に 定理 を 証明 できる 。

アルティン 的 半 単純 環 の 構造 は アルティン・ウェダーバーン の 定理 によって よく 理解 さ れる 。

別 の 基本 定理 に 従う と 、 アフィン 多様 体 の 圏 の 任意 の 群 は 、 { 仮 リンク | 忠実 表現 | label = 忠実 | en | Faithful representation }( faithful ) な 有限 次元 線型 表現 を 持っ て いる 。

（ 現在 は 絶版 ） 抽象 代数 学 において 、 アルティン・ウェダーバーン の 定理 ( Artin – Wedderburn theorem ) は 半 単純 環 と 半 単純 代数 の { 仮 リンク | 分類 定理 | en | classification theorem } で ある 。

定理 が 述べ て いる の は 、 （ アルティン ） 半 単純 環 R は ある 整数 ni に対して 可 除 環 Di 上 の 有限 個 の ni 次 行列 環 の 積 に 同型 で ある 。

直接 の 系 として 、 アルティン・ウェダーバーン の 定理 は 可 除 環 上 有限 次元 で ある すべて の 単純 環 （ 単純 代数 ） は 行列 環 で ある こと を 意味 する 。

アルティン・ウェダーバーン の 定理 は 可 除 環 上 の 単純 環 の 分類 を 与え られ た 可 除 環 を 含む 可 除 環 の 分類 に 帰着 する 。

それ ゆえ アルティン・ウェダーバーン の 定理 は 有限 次元 中心 的 単純 代数 の 分類 の 問題 を 与え られ た 中心 を もつ 可 除 環 の 分類 の 問題 に 帰着 する 。

また この 他 の 証明 で は ヘリー の 定理 が 用い られる 。

リューロー の 定理 の 証明 は 有理 曲線 の 理論 から 容易 に 種 数 の 幾何 学 的 概念 を 用い て 得 られる 。