リューロー の 定理 は 一般 に 初等 的 で ない と 考え られ て いる に も 関わら ず 、 体 論 の 基本 だけ を 使っ た いくつ か の 短い 証明 が 長い 間 見つかっ て き た 。

数学 の { 仮 リンク | 離散 幾何 学 | en | discrete geometry } の 分野 における ヘリー の 定理 （ ヘリー の て いり 、 Helly ' s theorem ） と は 、 凸 集合 が お互い に 共通 部分 を 持つ 状況 に関する 基本 的 な 結果 で ある 。

ヘリー の 定理 を 元 に 、 { 仮 リンク | ヘリー 族 | en | Helly family } の 概念 が 生まれ た 。

帰納的 な 手順 { math | n > d + 1 } と し 、 { math | n − 1 } に対して 定理 の 内容 は 成立 し て いる もの と する 。

これ は 一致 の 定理 の 簡単 な 帰結 で ある 。

Krull は ジャコブソン 根基 と の 関連 から { 仮 リンク | Nathan Jacobson | en | Nathan Jacobson } に ちなん で 名づけ 、 Goldman は ヒルベルト の 零 点 定理 と の 関連 から David Hilbert に ちなん で 名づけ た 。

代数 幾何 学 の ヒルベルト の 零 点 定理 は 有限 個 の 変数 の 体 上 の 多項式 環 は ヒルベルト 環 で ある という ステートメント の 特別 な ケース で ある 。

ヒルベルト の 零 点 定理 の 一般 的 な 形 が 述べ て いる の は 、 R が ジャコブソン 環 で あれ ば 任意 の 有限 生成 R - 代数 S も そう で ある という もの で ある 。

証明 は 中国 剰余 定理 を 零 イデアル の 極小 準 素 分解 に 適用 する 。

Hungerford の 定理 の 証明 は 完備 局所 環 ( complete local ring ) に対する { 仮 リンク | Cohen の 構造 定理 | en | Cohen structure theorem } を 用いる 。

上記 例 3 の よう に 議論 し Zariski - Samuel の 定理 を 使う こと で 次 の こと を 確認 する の は 易しい 。

Hungerford の 定理 は 任意 の special principal ring が 離散 付値 環 の 商 で ある という ステートメント と 同値 で ある 。

定理 の 解釈 は 1930 年 頃 { 仮 リンク | エミール・アルティン | en | Emil Artin } の 理論 の 定式 化 で 変わっ た 。

同時に 、 その よう な 元 の 構成 の 考慮 は 退く ： 定理 は 存在 定理 に なる 。

すると 以下 の アルティン の 定理 は 古典 的 な 原始 元 定理 に 取っ て 代わる 。

単項 イデアル 整 域 上 の 有限 生成 加 群 の 構造 定理 の 特別 な 場合 で ある 有限 生成 アーベル 群 の 基本 定理 ( fundamental theorem of finitely generated abelian groups ) は （ 単項 イデアル 整 域 の 場合 と 同様 に ） 2 通り に 述べる こと が できる 。

この 定理 によって 有限 生成 な アーベル 群 、 特に 位 数 が 有限 な アーベル 群 は 完全 に 分類 できる 。

その ため 、 これ は 群論 において 大変 有用 な 定理 で ある 。

もう少し 一般 化 し て 、 単項 イデアル 整 域 上 の 有限 生成 加 群 に対して も 全く 同様 の 定理 が 証明 できる 。

主要 な 結果 は Cohen - Seidenberg の 定理 ( Cohen – Seidenberg theorems ) で あり 、 これ は { 仮 リンク | Irvin S . Cohen | en | Irvin Cohen } と { 仮 リンク | Abraham Seidenberg | en | Abraham Seidenberg } によって 証明 さ れ た 。