これら は 上昇 定理 ( going - up theorem ) と 下降 定理 ( going - down theorem ) として 知ら れ て いる 。

下降 定理 に は 別 の 十分 条件 が ある 。

数学 、 特に 抽象 代数 学 において 、 同型 定理 ( isomorphism theorems ) は 商 、 準 同型 、 { 仮 リンク | 部分 対象 | en | subobject } の 間 の 関係 を 描く 3 つ の 定理 で ある 。

定理 の バージョン は 群 、 環 、 ベクトル 空間 、 加 群 、 リー 環 、 そして 様々 な 他 の 代数 的 構造 に対して 存在 する 。

普遍 代数 学 において 、 同型 定理 は 代数 と 合同 の 文脈 に 一般 化 する こと が できる 。

同型 定理 は 加 群 の 準 同型 に対して Emmy Noether によって Mathematische Annalen に 1927 年 に 出版 さ れ た 彼女 の 論文 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl - und Funktionenkörpern において いくら か 一般 的 に 定式 化 さ れ た 。

これら の 定理 の より 一般 的 で ない バージョン は Richard Dedekind の 仕事 や Noether による 前 の 論文 において 見つけ られる 。

準 同型 定理 と 呼ば れる 3 つ の 同型 定理 と 同型 の 2 つ の 法則 は 群 に 適用 さ れ た とき 明示 的 に 現れる 。

まず 群 の 文脈 において 3 つ の 同型 定理 を 述べる 。

ときどき lattice theorem が 第 四 同型 定理 あるいは correspondence theorem と 呼ば れる 。

この とき 第 二 同型 定理 において 、 積 SN は G の { 仮 リンク | 部分 群 の ラティス | en | lattice of subgroups } における S と N の { 仮 リンク | join | en | join ( mathematics )} で あり 、 共通 部分 S ∩ N は { 仮 リンク | meet | en | meet ( mathematics )} で ある 。

第 三 同型 定理 は 9 項 補題 によって アーベル 圏 や より 一般 の 対象 の 間 の 写像 に 一般 化 さ れる 。

それ は ときどき インフォーマル に " freshman theorem " と 呼ば れる 、 なぜ なら ば " freshman で さえ わかる から だ ： K たち を キャンセル アウト する だけ で よい ！ " 環 に対する 定理 の ステートメント も 同様 で あり 、 正規 部分 群 の 概念 が イデアル の 概念 に 取っ て 代わる 。

この とき 加 群 に対する 同型 定理 の ステートメント は とりわけ 単純 で ある 、 なぜ なら ば 任意 の 部分 加 群 から 商 加 群 を 構成 する こと が できる から で ある 。

ベクトル 空間 と アーベル 群 に対する 同型 定理 は これら の 特別 な 場合 で ある 。

ベクトル 空間 に対して は 、 これら の 定理 は すべて 階数 ・ 退化 次数 の 定理 ( rank - nullity theorem ) から 従う 。

以下 の 定理 の すべて で 、 言葉 「 加 群 」 は 「 R - 加 群 」 を 意味 する 、 ただし R は ある 固定 さ れ た 環 。

この 接 束 は { 仮 リンク | つむじ 頭 の 定理 | en | hairy ball theorem } によって 非 自明 で ある 。

以下 の 部分 的 な 逆 が 有限 群 に対して 正しい ： d が 群 G の 位 数 を 割り切り d が 素数 で あれ ば 、 G の 位 数 d の 元 が 存在 する （ これ は コーシー の 定理 と 呼ば れる こと が ある ） 。

定理 の 結果 は 次 を 含む ： 群 G の 位 数 が 素数 p の ベキ で ある こと と G の すべて の a に対して ord ( a ) が p の ある ベキ で ある こと は 同値 で ある 。